5°. Абсолютный дифференциал и абсолютная производная

Пусть на кривой

в римановом пространстве задано тензорное поле Будем считать для определенности, что это поле типа

Перейдем из точки кривой отвечающей значению параметра, в точку отвечающую значению и найдем в ней тензор заданного поля с компонентами

Здесь мы пренебрегли малыми высшего порядка относительно заменив приращения функций их дифференциалами. Отметим, что и

— тензоры в разных точках пространства и в разных базисах. При смене координат эти базисы преобразуются по-разному и цоэтому сравнение не имеет смысла.

Другое дело, если предварительно перенести параллельно тензор из точки в точку вдоль рассматриваемой кривой.

Тогда оба тензора будут заданы в общей тачке значит, в одном и том же базисе. Это позволит сравнить эти тензоры покомпонентно. Вычитая из параллельно перенесенного в точку тензора тензор и рассматривая главную часть разности, получим абсолютный дифференциал тензора

Проведем соответствующие рассуждения.

Пусть результат параллельного переноса тензора из точки в точку Это означает, что и обратно: тензор получается из тензора путем параллельного переноса последнего из точки в точку

Согласно формуле (22) для тогда получим

Для сокращения записи указание на то, что величины вычисляются в точке опущено.

Из приближенного равенства

и соотношения (24), заменяя с принятой степенью точности выражения в фигурных скобках на получаем, что

Определение. Абсолютным (ковариантным) дифференциалом называется главная линейная часть приращения тензора параллельно перенесенного в точку и тензора взятого в этой точке.

Таким образом, согласно формуле (25),

Для общего случая — тензора типа — имеет место аналогичная формула

Формула (26) справедлива для тензорного поля заданного на произвольной кривой риманова пространства

Допустим, что тензорное поле типа задано во всем пространстве и его компоненты в локальном базисе, определяемом координатной системой

В этом случае формула (26) работает на любой кривой причем в этой формуле дифференциал функции от переменных дифференциалы переменных.

Учитывая, что

запишем формулу (26) по-иному:

где

Выражение

определенное соотношениями (27) и (28), называется абсолютной, или ковариантной, производной тензора по аргументу В § 8 главы 3 было доказано, что ковариантная производная тензора типа представляет собой тензор типа

УТВЕРЖДЕНИЕ. Абсолютный дифференциал тензора типа вновь является тензором типа

Доказательство вытекает из формулы (27), если заметить, что правая часть

представляет собой свертку тензора

типа и тензора типа