2°. Тензоры в криволинейных координатах

Рассмотрим область X пространства в которой введена система криволинейных координат

С криволинейной координатной системой естественно связаны кривые, называемые координатными кривыми или координатными линиями.

Координатные линии определяются так: координатная линия -линия) — это кривая, вдоль которой изменяется лишь одна из координат — все координаты, кроме остаются неизменными.

Например, в случае цилиндрических координат -линия —

— дуга окружности (рис. 6).

Все координатные линии аффинной системы координат являются прямыми.

Рис. 6. Открытой дуге соответствует интервал

Последовательно полагая равным получаем, что через каждую точку области X проходят гладких кривых — координатных линий заданной системы координат (рис. 7).

Рис. 7. Координатные линии

Рис. 8. Координатный репер

Радиус-вектор точки можно записать так:

Частная производная - вектора-функции вычисленная в точке является касательным вектором к координатной линии — -линии. Так как векторы

линейно независимы, то в каждой точке можно рассматривать координатный репер

Тем самым задание в области X криволинейных координат влечет естественное появление в каждой точке из области X вполне определенного координатного репера

При переходе к другим криволинейным координатам в точке возникает другой координатный репер

Воспользуемся тем, что в некоторой окрестности точки координаты можно выразить через координаты посредством гладких функций

Тогда для векторов рассматриваемых реперов выполняются соотношения

Подчеркнем, что все величины, входящие в эти равенства, вычисляются в точке

Сравним полученные формулы с соотношениями

связывающими базисные векторы двух аффинных координатных реперов (см. § 4, 2°. Аффинные координаты). Полагая

получаем, что

и, значит,

Поменяв в приведенных рассуждениях местами получим соответственно

и

Подмеченная аналогия позволяет дать новое, более общее определение тензора (тензорного поля) применительно к произвольным криволинейным координатам.

Определение. Тензорным полем типа называется геометрический объект, задаваемый в каждой криволинейной системе координат набором гладких функций

преобразующихся при переходе к другой координатной системе по следующему правилу:

— тензорному закону типа

Отметим, что вычисление величин, расположенных в обеих частях каждого из равенств, каждый раз проводится в одних и тех же точках.

Нетрудно проверить, что все введенные выше понятия и установленные ранее факты переносятся на этот более общий случай.

Остановимся, например, на описании удобного на практике способа задания тензора и обосновании его корректности.