§ 9. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
1°. Определение операции ковариантного дифференцирования
Пользуясь символами Кристоффеля, введем важную операцию ковариантного дифференцирования 
Сформулируем сначала основные требования к этой операции.
1. В прямолинейных координатах операция ковариантного дифференцирования 
должна совпадать с обычной операцией дифференцирования 
2. Операция ковариантного дифференцирования V должна быть тензорной: есди 
тензорное поле, то VI также тензорное поле.
Определим эту операцию:
A. Если 
тензор типа 
гладкая функция
Б. Если 
тензор типа 
то
B. Если 
тензор типа 
то
И вообще:
Г. Если 
тензор типа 
то
Убедимся в том, что для введенной операции 
сформулированные выше требования выполнены.
Справедливость 1-го требования легко следует из того, что в прямолинейных координатах 
значит, 
(см. § 8, 2°. Специальные системы координат).
Покажем, что эта операция является тензорной (2-е требование).
ТЕОРЕМА. Ковариантная производная
тензора типа 
является тензором типа 
Составим по формуле (1) и вычислим
пользуясь равенством
Тогда получим, что
где 
(для индексов 
соответствующие слагаемые 
имеют аналогичный вид),
(для индексов 
соответствующие слагаемые 
имеют аналогичный вид).
Преобразуем эти величины.
Запишем выражение для А несколько по-иному. Имеем 
Обратимся теперь к выражению (4) для 
Пользуясь равенством
и формулой (2), получим, что
Заменив индекс суммирования в первой группе, 
преобразуем 
к следующему виду:
Воспользуемся законом преобразования символов 
записав его так:
Тогда
Подобным же образом можно убедиться в справедливости формулы
Заменяя 
в формуле (3) их новыми выражениями и вынося за скобки общий вовсех 
суммах множитель
получим, что
где
— ковариантная производная, составленная в координатах 
по общей схеме (1).
Формула (5) позволяет сделать следующий вывод: ковариантная производная 
тензорного поля 
типа 
изменяется по тензорному закону типа 
Тем самым число ковариантных индексов увеличивается на единицу. Отсюда и название операции — ковариантное дифференцирование.
