§ 5. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В этом параграфе для регулярной поверхности будут получены формулы, являющиеся в известном смысле аналогом формул Френе в теории пространственных кривых.

Ранее было показано, как по заданной поверхности можно вычислять ее первую и вторую квадратичные формы. Здесь же мы попытаемся выяснить, в какой степени первая и вторая квадратичные формы определяют поверхность. Более точно — будут найдены условия на заданные квадратичные формы

и

выполнение которых обеспечивает существование и единственность поверхности с первой квадратичной формой (1) и второй квадратичной формой (2).

1°. Деривационные формулы

Пусть

— радиус-вектор -регулярной поверхности . В каждой точке такой поверхности векторы

образуют линейно независимую систему. Поэтому любой вектор можно представить в виде их линейной комбинации. Это относится и к производным по и самих векторов (рис. 45).

Рассмотрим, в частности, разложения по векторам их производных

Имеем

и

где некоторые коэффициенты, подлежащие определению.

Рис. 45. В каждой точке регулярной поверхности тройка векторов линейно независима

Покажем, что эти коэффициенты можно выразить через коэффициенты первой

и второй

квадратичных форм данной регулярной поверхности.

При выводе формул нам понадобятся соотношения, определяющие коэффициенты форм I и II через производные радиус-вектора. Напомним эти соотношения:

Начнем с вычисления коэффициентов в формулах (3). Коэффициенты

Умножим обе части каждого из равенств (3) на вектор скалярно. С учетом равенств и формул (6) получаем, что искомые коэффициенты совпадают с соответствующими коэффициентами второй квадратичной формы:

Коэффициенты

Умножим скалярно обе части первого из равенств (3) сначала на вектор а затем на вектор С учетом формул (5) получим соответственно

Скалярные произведения в левых частях соотношений (8) определяются через производные коэффициентов первой квадратичной формы:

Первое из этих равенств получается после дифференцирования по и обеих частей равенства Чтобы убедиться в справедливости второго, достаточно продифференцировать по и равенство и по у — равенство

а затем исключить произведение

Разрешая уравнения (8) относительно неизвестных с учетом формул (9) получим, что

где

Применяя тот же прием ко второму и третьему уравнениям (3), вычислим остальные коэффициенты

Отметим, что коэффициенты (они называются символами Кристоффеля) выражаются только через коэффициенты первой квадратичной формы и их первые производные.

Обратимся теперь к вычислению коэффициентов в формулах (4).

Продифференцировав тождество

по и по получим, что

Это означает, что векторы ортогональны нормальному вектору следовательно, параллельны касательной плоскости поверхности в рассматриваемой точке. Поэтому в формулах (4)

Умножим обе части соотношения

скалярно на и на . С учетом формул (6) получим соответственно

Отсюда вытекает, что

Аналогично из соотношения

вычисляются коэффициенты

Таким образом, мы показали, что производные векторов линейно выражаются через векторы причем коэффициенты в этих разложениях зависят только от коэффициентов первой и второй квадратичных форм поверхности и их производных.

Сказанное относится к производным радиус-вектора и единичного вектора нормали поверхности любого порядка.