§ 5. ТЕНЗОРНОЕ ПОЛЕ

Значительный интерес представляет случай, когда тензор изменяется от точки к точке.

Определение. Будем говорить, что в -мерном точечном пространстве задано поле тензора типа или тензорное поле, если в каждой точке этого пространства задан определенный тензор типа

Отметим, что тензорное поле может быть задано и не во всем пространстве, а только на некотором его подмножестве.

Если в пространстве введена координатная система, то формулу (1) можно записать так:

где координаты точки

Все введенные выше операции тензорной алгебры легко переносятся на случай тензорных полей.

Алгебраические операции над тензорными полями определяются как операции над тензорами этих полей, производимые отдельно в каждой точке области задания.

Например, складывая тензорные поля

одного типа в каждой точке их общей области задания, получаем

Ясно, что в результате этой операции вновь получается тензорное поле того же типа.

Подобным же образом на тензорных полях вводятся операции умножения, транспонирования и свертывания, поднятия и опускания индексов и др.