2°. Геодезические как экстремали

Уравнения Эйлера.

Пусть кривая L соединяет в римановом пространстве точки и

— ее параметрические уравнения, причем точке отвечает значение параметра, равное а точке

Рассмотрим семейство кривых зависящих от малого (числового) параметра и функций

функции обращаются в нуль при

Ясно, что кривые также соединяют точки

Обратимся к функционалу

где — рассматривая его на кривых (8).

Разлагая по формуле Тейлора с центром в точке получим, что

где

Величина

называется первой вариацией функционала (9).

Интегрируя второе слагаемое в правой части формулы (10) и учитывая условия (8), получим, что

Говорят, что функционал (9) стационарен на кривой если его вариация равна нулю для всех при достаточно малых

Кривая L называется в этом случае экстремалью функционала (9).

УТВЕРЖДЕНИЕ. Кривая L является экстремалью функционала (9) в том и только в том случае, когда на L выполняются соотношения

Соотношения (12) называются уравнениями Эйлера.

ТЕОРЕМА 5. Экстремалями функционала

являются геодезические линии.

Другими словами, геодезические линии являются кривыми стационарной длины.

Построим уравнения Эйлера для функционала (13).

Так как в рассматриваемом случае

то

Подставляя найденные значения для и в левые части уравнений Эйлера (12) и производя необходимые преобразования, получим

Пользуясь тем, что

после умножения на получим

Умножая соотношения (14) на и суммируя по с учетом тождеств

приходим к формуле

Если перейти от (произвольного) параметра к длине дуги (канонический параметр), то окончательно получим

Таким образом, экстремалями функционала (13) являются геодезические линии. Так как этот функционал — длина дуги, то геодезические представляют собой линии стационарной длины.

Замечание. Можно доказать, что любой достаточно малый отрезок геодезической является кратчайшей среди всех спрямляемых кривых, соединяющих его концы.