7°. Формула Родрига

Пусть криволинейные координаты в окрестности точки X на поверхности Так как производные единичного вектора нормали к поверхности в точке X параллельны касательной плоскости (дифференцируя равенство

убеждаемся в том, что то их можно представить в виде линейной комбинации только векторов

Умножая оба равенства (26) скалярно на векторы и с учетом формул (9) пункта 1°, получим соответственно

Как показано в предыдущем пункте, координатные линии на поверхности всегда можно выбрать так, чтобы в точке X они имели главные направления. Тем самым значит,

Заметим, что нормальные кривизны поверхности в точке X в направлениях координатных линий соответственно равны

Сравнивая формулы (26), (27) и (28), окончательно получим, что

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

ТЕОРЕМА 3 (Родриг). Производные единичного вектора нормали и радиус-вектора поверхности в главном направлении коллинеарны; коэффициент пропорциональности только знаком отличается от нормальной кривизны поверхности в этом направлении (рис. 37).

Рис. 37. Производные радиус-вектора и единичного вектора нормали поверхности в главных направлениях коллинеарны

Рис. 38. Указаны асимптотические, направления на поверхности в точке X

Справедливо и обратное утверждение:

если

то направления линий и являются главными и