7°. Физическая интерпретация поверхностей постоянной отрицательной кривизны

Предлагаемый ниже геометрический подход — физическая интерпретация поверхностей постоянной отрицательной кривизны, равной —1, предложенный А. Г. Поповым (см.: Попов А. Г. Геометрический подход в некоторых задачах, связанных с уравнением sin-Гордона: Автореф. канд. дис. М., 1988), будет рассмотрен на примере явления 1 приведенного перечня.

Основная идея заключается в следующем. Поверхности постоянной отрицательной кривизны, равной используются в качестве фазовых поверхностей, описывающих эволюцию физического процесса, задаваемого уравнением синус-Гордона. Фазовая поверхность представляет собой аналог фазового пространства в классической механике — каждая точка фазовой поверхности полностью характеризует состояние исследуемых физических величин для соответствующих значений координат фазовой поверхности.

Фазовую отвечающую решению уравнения синус-Гордона, обозначим через Пусть область допустимых значений параметров х и у функции Каждой точке отвечает точка При изменении параметров связанных с изменением физического процесс меняется радиус-вектор поверхности описывая, вообще говоря, некоторую кривую фазовую траекторию Ясно, что определяет исследуемый процесс.

Пусть регулярная кривая, так что представляет собой достаточное число раз дифференцируемую функцию. Возможны следующие случаи:

1) , k - целое, т. е. располагается на регулярной части поверхности ,

2) , т. е. совпадает с особенностью (например, с ребром, как на псевдосфере).

Поповым сформулирован следующий принцип описания эволюции физической величины.

Пусть физическая величина удовлетворяет уравнению синус-Гордона. Тогда в качестве фазовой поверхности для описания ее эволюции может быть использована соответствующая решению При этом выполняется следующее:

Иллюстрацией применения этого принципа могут служить так называемая теорема площадей в явлении распространения ультракоротких импульсов в двухуровневых резонансных средах и эффект самоиндуцированной прозрачности.

Перейдем к описанию этих явлений.

В двухуровневой резонансной среде атомы могут находиться только в двух энергетических состояниях — нижнем (основном) с энергией и верхнем с энергией Распространение ультракоротких импульсов длительностью с в резонансной среде имеет ряд специфических особенностей: для возникающих процессов оказываются несправедливыми модели, основанные на линейной теории дисперсии (для малых интенсивностей) или на скоростных уравнениях переноса излучения (некогерентное взаимодействие). Характерной особенностью описываемого процесса является то, что релаксационные явления (соударения, спонтанное излучение) не успевают разрушить фазовую память системы, вследствие чего поляризация среды становится нелинейной функцией амплитуды и фазы распространяющегося электромагнитного импульса.

Рис. 12. а — исходное состояние; б - инвертирование среды; в — индуцированное излучение

При распространении ультракороткого импульса в двухуровневой резонансной среде атомы этой среды, находящиеся в нижнем энергетическом состоянии под воздействием переднего фронта импульса переходят в верхнее состояние с энергией вследствие чего среда становится полностью инвертированной. Под действием оставшейся части импульса атомы, перешедшие в верхнее энергетическое состояние, начинают индуцированно излучать, и при этом полученная ими энергия возвращается обратно распространяющемуся импульсу. В результате энергия, передаваемая квантовой системе, отбирается обратно, вследствие чего восстанавливается первоначальная форма импульса. Подобное явление возможно вследствие того, что длительность импульса меньше времени релаксации и поэтому инвертирование среды и индуцированное излучение происходят раньше релаксационных процессов, которые могли бы нарушить когерентность взаимодействия (рис. 12).

Для моделирования процесса распространения ультракороткого импульса в двухуровневой резонансной среде следует задать

уравнения Максвелла для описания электромагнитного импульса и квантовый (двухуровневый) ансамбль атомов для описания среды.

Представим поле распространяющегося ультракороткого импульса как

где координата, у — время, — амплитуда, фаза, — волновой вектор. Тогда дипольный момент системы можно записать в виде

где реактивная составляющая (описывает вклад в дисперсию), активная составляющая (определяет вклад в поглощение света средой).

Для рассматриваемой задачи система уравнений Максвелла приводится к эквивалентной системе

(см.: Полуэктов И. А., Попов Ю. М., Ройтберг В. С. Эффект самоиндуцированной прозрачности ).

В уравнениях (42) приняты следующие обозначения: разность заселенностей нижнего и верхнего энергетических состояний, частота перехода), число частиц в единице объема, нерезонансная часть коэффициента преломления.

В случае

система (42) допускает точное интегрирование. Условие (43) определяет так называемый случай отсутствия фазовой модуляции. Введем вектор

Это позволяет записать первые три уравнения системы (42) в следующем виде:

где - вектор угловой скорости.

Поясним физический смысл вектора . В отсутствие импульса атомы находятся в нижнем энергетическом состоянии . Полная инверсия соответствует повороту вектора на угол . Пренебрежение релаксацией означает, что вращение вектора заканчивается до того, как успевают сказаться релаксационные эффекты.

В случае точного резонанса, уравнение (44) легко интегрируется:

При этом угол поворота определяется так:

Полный поворот равен

Величина называется площадью импульса.

Четвертое уравнение системы (42) в случае с учетом формул (45) заменой переменных

сводится к уравнению синус-Гордона

При подробном рассмотрении системы (42) относительно величины выявляется следующая закономерность:

определяющая изменение площади ультракороткого импульса (см.: Lamb G. L. jr. Analytical description of ultrashort optical pulse propogation in a resonant medium//Rev. Mod. Phys. 1971. V. 43, N 2. P. 99-124). Величина коэффициент поглощения слабого монохроматического поля частоты

Из последней формулы нетрудно получить соотношение

выражающее содержание «теоремы площадей» (здесь начальная площадь импульса).

Из уравнения (48) вытекает, что если начальная площадь импульса целое), то импульс должен распространяться в рассматриваемой среде без изменения площади. Такое явление получило название эффекта самоиндуцированной прозрачности. Если же начальная площадь Фото, как видно из формулы (49), площадь импульса стремится в процессе своей эволюции к стабильному значению

Из соотношений (46), (47) видно, что при достаточно больших временах у функция и площадь импульса бесконечно близки. Поэтому для величины справедливы положения (40), (41) сформулированного принципа. При этом положение (41) соответствует эффекту самоиндуцированной прозрачности, а положение (40) качественно выражает «теорему площадей» (стремление площади импульса к значению, кратному ).