3°. О способе задания тензорного поля
Для того чтобы задать тензорное поле (во всем пространстве или в некоторой области), часто пользуются следующим приемом: указываются тип тензорного поля и его компоненты относительно какой-то одной координатной системы.
Такой способ задания тензорного поля удобен.
Покажем, что он является вполне корректным.
Пусть, например, в некоторой области X пространства введена система координат 
Набор 
гладких функций
будем рассматривать как совокупность компонент тензорного поля типа относительно этой координатной системы.
Укажем сначала, как строятся компоненты поля относительно любой другой координатной системы.
Пусть 
произвольная координатная система в области 
Компоненты
определим по следующему правилу:
(здесь все величины вычислены в одной и той же произвольно выбранной точке 
области X).
Чтобы убедиться в том, что тем самым в области X действительно построено тензорное поле типа 
достаточно проверить, является ли тензорным закон преобразования компонент при переходе от одной произвольной системы координат к другой, тоже произвольной.
Пусть 
две любые координатные системы в области 
Компоненты относительно координатной системы 
определяются по формуле (1), а компоненты 
относительно координатной системы 
по следующему, аналогичному, правилу
Покажем, что тензорный характер приведенного закона преобразования сохранится и при переходе от компонент - к компонентам 
Выразим сначала компоненты 
через (ср. § 1, 1°. Определение тензора). Умножая обе части формулы (1) на величину
и суммируя по 
от 1 до 
получим
Так как
то из последней формулы вытекает, что
Прежде чем подставлять полученное для 
выражение в формулу (2), заметим, что
Теперь уже нетрудно подсчитать, что
Пример. Пусть
— ковариантный кососимметричный тензор. Если среди индексов 
компоненты 
есть повторяющиеся, то эта компонента равна нулю. Если же индексы 
попарно различны, то
Кососимметричные тензоры типа где 
размерность пространства, при замене координат
преобразуются по правилу
В самом деле, по определению имеем
