§ 4. ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

1°. Гладкое отображение. Диффеоморфизм

Пусть гладкие многообразия размерностей соответственно.

Определение. Отображение

называется гладким в точке многообразия если существуют локальная карта и локальная карта такие, что отображение

является гладким (бесконечно дифференцируемым) (рис. 26).

В локальных координатах отображение задается так:

где изменяется в открытой области пространства

Данное определение гладкости отображения в точке корректно (не зависит от выбора локальных карт).

Покажем это.

Рис. 26. Описание гладкого отображения в локальных координатах

Пусть и две другие локальные карты. Отображение

также является бесконечно дифференцируемым. В самом деле, в области имеем

Отображения

и

бесконечно дифференцируемы по условию, наложенному на многообразия , отображение принадлежит классу по определению.

Тем самым отображение как композиция бесконечно дифференцируемых отображений является бесконечно дифференцируемым.

Отображение называется гладким, если оно гладкое в каждой точке многообразия (рис. 27).

Рис. 27. (см. скан) Проектирование тора на окружность гладкое отображение

Запишем последнее равенство в локальных координатах. Имеем

Продифференцируем по заметив, что

По правилу дифференцирования сложной функции получаем

или, в матричной форме,

Из последнего равенства в силу невырожденности матриц Якоби ( вытекает, что

Множество гладких отображений вида будем обозначать через

Пусть гладкие многообразия.

Гладкое отображение называется диффеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное отображение также является гладким.

Многообразие называется диффеоморфным многообразию если существует диффеоморфизм (рис. 28).

Рис. 28. Эллипс и открытый круг диффеоморфны

Обозначение:

3. Диффеоморфные многообразия имеют одинаковую размерность.

Справедливость сформулированного утверждения вытекает из рассмотрений следующего пункта (см. конец пункта 2°).