В. АРИФМЕТИЧЕСКОЕ (КООРДИНАТНОЕ) ПРОСТРАНСТВО

§ 10. ТЕНЗОРЫ В КООРДИНАТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В предыдущих разделах мы последовательно разрабатывали аппарат тензорного исчисления, исходя из наглядных и геометрических соображений и используя аналогию. При этом замеченные факты часто удавалось переносить на новую, более общую ситуацию, расширяя тем самым область применимости развиваемых методов.

В этрм разделе мы еще раз поступим подобным же образом: будем рассматривать изложенное выше как наводящие соображения для создания более абстрактных конструкций, причем так, чтобы установленные выше факты (точнее, их прямые аналоги) оставались справедливыми. Поэтому материал, помещаемый в этом разделе, нужно рассматривать двояко: с одной стороны, как сводку введенных понятий и установленных фактов, а с другой — как последовательное, хотя и краткое, изложение основ тензорного исчисления в координатном пространстве.

1°. Координатное пространство

Точкой будем называть любой упорядоченный набор из вещественных чисел. Множество всевозможных таких наборов назовем -мерным координатным пространством.

Обозначение:

Точки пространства будем обозначать прописными латинскими буквами — Запись означает, что точка отвечает набору В этом случае числа называются координатами точки

Пусть некоторое положительное число.

Определение. Множество точек для которых

называется -окрестностью точки

Определение. Множество X точек из называется открытым, если для каждой точки этого множества можно указать ее -окрестность, целиком принадлежащую множеству Открытое связное множество будем называть областью. Окрестностью точки называется любое открытое множество, содержащее эту точку.