9°. Топологическое многообразие

Пусть — хаусдорфово топологическое пространство.

Открытой картой на назовем пару где открытое подмножество пространства гомеоморфизм подмножества на открытое подмножество координатного пространства каждой точке из ставится во взаимно однозначное соответствие набор из чисел, ее локальных координат

Пример 1. Рассмотрим в координатном пространстве единичную сферу

Сфера является топологическим подпространством пространства . Пара где множество точек на у которых проектирование на плоскость определяемое по правилу

является открытой картой на (рис. 11).

Рис. 10. Открытая карта на

Рис. 11. Локальные координаты на верхней полусфере

В самом деле, подмножество открыто в (как пересечение с открытым полупространством отображение непрерывно, обратное к нему определяется так:

и также непрерывно. Образом при отображении является» единичный открытый круг.

Допустим, что на множестве существуют две открытые карты и такие, что множества открыты в пространстве Тогда, как нетрудно проверить, отображение является гомеоморфизмом открытой области пространства на открытую область пространства

Это вытекает из того, что отображение, обратное гомеоморфизму, и композиция гомеоморфизмов также являются гомеоморфизмами (рис. 12).

Рис. 12. Схема перехода от одной локальной карты к другой

Отображение в локальных координатах можно задать так:

Формулы называют формулами преобразования локальных координат, или формулами перехода; функции называют функциями перехода.

Пример 2. Рассмотрим на сфере еще одну открытую карту где множество точек сферы у которых проектирование на плоскость проводимое по правилу (рис. 13)

Построим отображение Другими словами, выразим у через Имеем (рис. 14)

Рис. 13. (см. скан) Локальные координаты на правой полусфере

Рис. 14. (см. скан) Преобразование локальных координат на сфере

Аналогично строится карта множество точек у которых

Пусть А — конечное или счетное множество.

Топологическое пространство будем называть -мерным топологическим многообразием, если найдется набор открытых карт такой, что:

1) для любого а из множества индексов является открытым подмножеством пространства

Такой набор карт называется атласом топологического многообразия (рис. 15).

Рис. 15. Топологические пространства, не являющиеся топологическими многообразиями

Обозначение:

Если и -произвольные карты из атласа топологического многообразия то отображение

непрерывно; оно отображает открытую область пространства на открытую область пространства

Пример 3. Сфера представляет собой двумерное топологическое многообразие: атлас сферы образуют шесть карт

здесь множество точек у которых

Карты определяются аналогично.

Пример 4. Множество невырожденных матриц второго порядка с вещественными элементами является

четырехмерным топологическим многообразием. Это вытекает из того, что множество

открыто в а отображение на определяемое по правилу

является гомеоморфизмом.

Одно и то же топологическое многообразие имеет много различных атласов.

Пример 5. Рассмотрим в пространстве -мерную сферу множество точек координаты которых удовлетворяют равенству

Пара где - северный полюс, а стереографическая проекция из на пространство определяемая по правилу

является открытой картой на (рис. 16).

Рис. 16. Стереографическая проекция (из «северного» полюса)

Рис. 17. Стереографическая проекция (из «южного» полюса)

В самом деле, подмножество открыто в (как дополнение к замкнутому множеству — точке Отображение непрерывно; обратное к нему определяется так:

и тоже непрерывно. Ясно, что

Рассмотрим на еще одну открытую карту где южный полюс, стереографическая проекция из на пространство

Карты образуют атлас сферы Тем самым сфера -мерное топологическое многообразие.

При получаем еще один атлас для двумерной сферы (состоящий из двух карт):

Построим отображение т. е. выразим через Подставляя в равенство

выражение для через после простых вычислений получаем, что