§ 7. МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР В ТОЧЕЧНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

1°. Метрический тензор в криволинейных координатах

Как уже отмечалось выше (см. § 4), евклидово пространство получается из точечного при помощи дополнительного введения метрики. Введение метрики сводится к заданию дважды ковариантного метрического тензора компоненты которого относительно произвольного координатного репера вычисляются по формуле

Рассматривая тензор в криволинейных координатах естественно относить его в каждой точке к соответствующему локальному реперу

где радиус-вектор точки Тогда компоненты метрического тензора будут связаны с векторами следующими формулами:

Из формул (1) видно, что компоненты метрического тензора являются функциями точки

и при переходе к новым криволинейным координатам изменяются по тензорному закону типа

Отсюда, в частности, вытекает закон преобразования

Остановимся на формулах (2) подробнее.

Напомним, что задание метрики (метрического тензора) в точечном пространстве производится следующим образом. Во всем пространстве в некоторой прямолинейной координатной системе вводится набор чисел обладающий свойствами

1) симметричности,

и

2) невырожденности,

компоненты относительно любой другой прямолинейной координатной системы вычисляются по тензорному закону типа

Подчеркнем, что в каждой точке пространства тензор один и тот же, т. е. компоненты тензора относительно рассматриваемой координатной системы одни и те же в каждой точке.

В то же время, рассматривая компоненты этого постоянного тензора относительно произвольной криволинейной координатной системы, мы получаем согласно формуле (2), что каждая его компонента от точки к точке изменяется. И значит, постоянный тензор в криволинейных координатах будет восприниматься как тензорное поле.

Пример 1. Если компоненты метрического тензора трехмерного пространства в прямоугольной декартовой системе координат записать в виде матрицы

то при переходе к цилиндрическим координатам получим

а к сферическим

Пример 2. Пусть метрический тензор задан в прямоугольной декартовой системе координат Тогда все его компоненты определяются так:

При переходе к криволинейным координатам имеем

откуда

Совсем просто проверить, что все ранее установленные факты тензорной алгебры, связанные с метрическим тензором (поднятие и опускание индексов и др.), переносятся на рассматриваемый случай криволинейных координат.