6°. Векторное произведение

При помощи дискриминантного тензора можно получить тензорное выражение для векторного произведения двух векторов в пространстве Такая запись векторного произведения широко используется для проведения вычислений в криволинейных координатах.

Пусть координаты дискриминантного тензора в базисе пространства Рассмотрим тензор Тогда координаты вектора в базисе можно записать в следующем виде:

Убедиться в этом совсем нетрудно. С формальной точки зрения выражение в правой части формулы (19) представляет собой

тензор типа можно рассматривать как контравариантные координаты вектора. Поэтому достаточно проверить, что координаты вектора в каком-то определенном базисе (для ортонормированного базиса эта проверка проводится особенно просто, и мы предоставляем ее читателю).

Естественно поставить вопрос об обобщении понятия векторного произведения на многомерный случай. Это можно сделать геометрически, но более простой путь — воспользоваться формулой, обобщающей формулу (19).

Пусть векторы в пространстве Определим координаты векторного произведения

векторов при, помощи соотношений

В этой формуле координаты дискриминантного тензора в пространстве с поднятым первым индексом, а - контравариантные координаты векторов соответственно.