4°. Кривая как линия пересечения поверхностей

Пусть уравнения поверхностей соответственно.

Систему

можно рассматривать как уравнения линии пересечения поверхностей кривой L (рис. 6).

Рис. 6. Пространственная кривая как линия пересечения поверхностей

Действительно, уравнениям (6) удовлетворяют координаты х, у, z любой точки этой кривой.

Если разрешить систему уравнений (6) относительно, например, у и z, т. е. найти у и z как функции х:

(это возможно в некоторой окрестности точки кривой L при условии

в самой точке и затем выбрать х за параметр то мы получим параметрические уравнения кривой

Пример. Кривая Вивиани представляет собой линию пересечения сферы радиуса а и круглой цилиндрической поверхности диаметра а, одна из образующих которой проходит через центр сферы. Если поместить начало координат в центр этой сферы, а ось направить по образующей цилиндрической поверхности, то уравнения сферы и цилиндрической поверхности примут вид

Это и есть уравнения кривой Вивиани (рис. 7).

Если выбрать х за параметр то из приведенной системы получим параметрические уравнения отдельных частей (в зависимости от выбора знаков перед корнями) кривой Вивиани: