§ 6. ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ

1°. Определение тензорного поля

Пусть -мерное гладкое многообразие.

Определение. Будем говорить, что на задано тензорное поле типа если в каждой точке многообразия для любой локальной карты указан упорядоченный набор чисел

который при переходе к другой координатной карте преобразуется по правилу

Можно сказать и по-иному.

Тензорным полем типа на гладком многообразии называется правило, которое с каждой точкой многообразия связывает тензор типа заданный в касательном пространстве

Формула (1) представляет собой запись этого закона в локальных координатах.

Тензорное поле компоненты которого принадлежат классу для любой точки из называется гладким тензорным полем на многообразии

Совокупность всех гладких тензорных полей на многообразии типа будем обозначать через

Элементы множества называются векторными полями (рис. 33).

Рис. 33. Векторное поле

Рис. 34. вектор смещения

Пусть векторное поле на его значение в некоторой точке из . В локальных координатах вектор задается набором чисел который при переходе к другим локальным координатам в соответствии с правилом (1) преобразуется так:

Замечание. Сравнивая формулу (2) с правилом (4) пункта 2° § 3, замечаем наличие тесной связи между касательным вектором как линейным отображением и вектором как сужением векторного поля X в точку