2°. Векторы в римановом пространстве

Ранее уже отмечалось, что произвольное риманово пространство отличается от евклидова, является более общим. Поэтому естественно обсудить вопрос о том, что понимать под вектором в таком пространстве.

Поступим следующим образом. Зададим в данной точке риманова пространства чисел

Будем считать эти числа координатами вектора в точке

Сразу же возникает вопрос: в каком базисе числа являются координатами вектора

Для ответа на этот вопрос воспользуемся понятием касательного пространства.

Мы знаем, что если метрический тензор пространства то метрический тензор касательного пространства риманова пространства в точке Тем самым в пространстве налицо прямолинейная косоугольная система координат с началом в данной точке с каждой -линией (это прямая в связан вектор длина которого равна а угол между векторами вычисляется по формуле

Из теории поверхностей (глава 2) мы знаем, что измерения на поверхности проводятся при помощи первой квадратичной формы

поверхность представляет собой двумерное риманово пространство

Рис. 3. На рисунке изображена поверхность, представляющая собой двумерное риманово пространство

Касательную плоскость к поверхности в точке можно рассматривать как касательное пространство в точке пространства (рис. 3). Координатные линии на касательные прямые в точке к координатным линиям на

Векторы направлены соответственно по линиям на причем

а угол между этими векторами определяется по формуле

Вернемся к общему случаю.

Пусть базис в касательном пространстве Тогда по заданным числам определяется вектор

расположенный в пространстве Так что вектор имеет координаты в базисе

Перейдем в пространстве к другим координатам

Базисные векторы касательного пространства в точке преобразуются по формулам

где

Наряду с формулами (7) имеются также и формулы

перехода от базиса к базису где

Пользуясь формулами (8), получим

С другой стороны,

Из соотношений (9) и (10) получаем формулы, связывающие координаты и вектора

Аналогично выводятся формулы перехода от и

Определение. Вектором в точке риманова пространства называется упорядоченный набор чисел координат вектора преобразующийся при переходе от координатной системы к координатной системе по формулам (11) и (12), где

Геометрически вектор можно представлять себе как обычный вектор в касательном пространстве