ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ КРИВЫХ

Наглядно кривую можно представить как след точки, движущейся по плоскости или в пространстве. Кажется совсем несложным дать этому наглядному представлению простое математическое описание, например определить кривую как непрерывный образ отрезка. Однако существуют примеры, подвергающие такой подход серьезному испытанию: непрерывный образ отрезка может заполнять, в частности, целый квадрат.

Для определения кривой мы изберем следующий путь. Сначала введем понятие простой кривой, затем более общее понятие кривой, заданной параметрически. Чтобы привлечь к изучению свойств введенного класса кривых аппарат дифференциального исчисления, накладываем на кривые ряд дополнительных ограничений геометрического характера. Полученный класс гладких кривых будет обладать свойствами, хорошо согласующимися с наглядными представлениями. Дальнейшие ограничения приводят нас к регулярным кривым. Для этих кривых определяются такие важные скалярные характеристики кривой, как кривизна и кручение. Привлекая их к изучению локального строения кривых, мы получаем целый ряд полезных фактов и соотношений.

§ 1. ПОНЯТИЕ КРИВОЙ

1°. Простая плоская кривая

Пусть функции и аргумента (параметра) непрерывны на сегменте

Рассмотрим множество L точек координаты х и у которых определяются соотношениями (рис. 1)

Множество L будем называть простой плоской кривой, если различным значениям параметра из сегмента (31 отвечают различные точки этого множества.

Будем говорить также: «соотношения (1) определяют простую плоскую кривую и «простая плоская кривая L параметризована при помощи соотношений

Если считать параметр физической величиной — временем, то простую плоскую кривую можно представлять как

траекторию движущейся по плоскости точки, причем эта траектория не имеет точек самопересечения и участков самоналегания.

Точки координаты которых определяются соотношениями (1), назовем точками кривой Точки отвечающие граничным значениям параметра назовем граничными точками кривой

Рис. 1. Точка движется по кривой L от точки А до точки В по закону

Рис. 2. Простая замкнутая кривая объединение простых кривых

Примером простой плоской кривой может служить график непрерывной на сегменте функции Этот график есть множество точек координаты х и у которых определяются соотношениями Ясно, что различным значениям параметра отвечают различные точки графика.

Замечание 1. Одна и та же простая кривая может быть параметризована различными способами. Можно, например, рассматривать параметризацию простой кривой получающуюся из данной ее параметризации представления параметра в виде непрерывной строго монотонной функции другого параметра

Замечание 2. Важным является понятие простой замкнутой плоской кривой. Пусть две простые плоские кривые, такие, что: 1) каждая из граничных точек кривой совпадает с одной из граничных точек кривой любые неграничные точки кривых различны. Множество полученное объединением кривых называется простой замкнутой плоской кривой. Простая замкнутая плоская кривая также может быть параметризована при помощи соотношений вида (1) (рис. 2).