2°. Классификация точек регулярной поверхности

Пусть — регулярная поверхность и ее радиус-вектор.

Выберем на поверхности некоторую точку и рассмотрим плоскость которая касается поверхности в этой точке.

Отклонение произвольной точки X поверхности от плоскости определим формулой

где единичный вектор нормали к поверхности в точке Это отклонение, взятое по абсолютной величине, равно расстоянию от точки X до плоскости Отклонение положительно, если точка X и конец вектора лежат по одну сторону от плоскости и отрицательно, если эти. точки лежат по разные стороны от плоскости (рис. 23).

Обратимся к формуле (10).

Разность допускает следующее представление:

где

Рис. 23. Отклонение точки X от плоскости отрицательное

при

Умножим обе части равенства (11) скалярно на в Тогда, положив

получим, что

Отметим, что коэффициенты в формуле (12) вычислены в точке

Таким образом, мы получили для отклонения представление:

где через обозначена вторая квадратичная форма вычисленная в точке при

Используем полученную формулу (13) для изучения поверхности вблизи точки

Как известно из курса линейной алгебры, свойства тичной формы во многом определяются знаком ее дискр Вычислим дискриминант второй квадратичной формы

в точке Возможны следующие случаи.

- вторая квадратичная форма в точке является знакоопределенной.

Зафиксируем в точке некоторое направление на поверхности; для определенности

Тогда любое другое направление на поверхности в точке можно задавать при помощи угла который оно образует с выбранным направлением (рис. 24).

Рис. 24. Угол отсчитывается против часовой стрелки, если смотреть со стороны вектора нормали

Положим

Тогда

Нетрудно показать, что

где постоянная

и в силу условия положительна.

Таким образом, неравенство

выполняется независимо от выбора угла

Так как порядок стремления к нулю при второго слагаемого в правой части формулы (13) выше двух, то из последней оценки можно сделать следующий вывод.

Отклонение сохраняет знак (совпадающий со знаком второй квадратичной формы для всех достаточно малых значений независимо от выбора направления на поверхности.

Это означает, что все точки поверхности достаточно близкие к точке располагаются по одну сторону от касательной плоскости поверхности в этой точке. Такая точка поверхности называется эллиптической (рис. 25).

Рис. 25. На рисунке изображена эллиптическая точка поверхности S

— вторая квадратичная форма поверхности в точке является знакопеременной.

Покажем, что в этом случае в точке можно указать два неколлинеарных направления на поверхности, обладающих следующими свойствами:

а) для значений дифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная форма поверхности, вычисленная в точке обращается в нуль;

б) все остальные направления на поверхности в точке разбиваются на два класса — для дифференциалов, определяющих направления одного из этих классов, вторая квадратичная форма По положительна и для другого отрицательна.

Пусть некоторое направление положительного класса задается углом В соответствии с формулой (14) имеем

где

Как видно из формулы (13), знак отклонения для всех достаточно малых значений в рассматриваемом направлении совпадает со знаком второй квадратичной формы . Следовательно, если точка X поверхности достаточно близка к точке то это отклонение положительно.

Рассуждая аналогично, можно указать точки на поверхности, близкие к точке для которых отклонение отрицательно (рис. 26).

Рис. 26. Отклонение точки в направлении положительно, отклонение точки в направлении отрицательно

Приведенные рассуждения показывают, что вблизи точки поверхность располагается по разные стороны от касательной плоскости При этом проекции точек поверхности, отклонения которых положительны, на касательной плоскости заполняют множество, отмеченное на приведенном рисунке (рис. 27).

Рис. 27. Прямые указывают направления в точке в которых

В рассматриваемом случае точка называется гиперболической точкой поверхности но отличен от нуля хотя бы один из коэффициентов

Пусть для определенности Тогда вторая квадратичная форма поверхности в точке может быть записана в следующем виде:

Тем самым в зависимости от знака форма По либо неотрицательна либо неположительна При этом на поверхности в точке можно указать направление такое, что определяющие его дифференциалы обращают вторую квадратичную форму в нуль; для всех других направлений на поверхности в точке форма имеет один и тот же знак (совпадающий со знаком (рис. 28).

Рис. 28. Все точки поверхности кроме (возможно) линии, проходящей через точку в направлении лежат под касательной плоскостью

В этом случае точка называется параболической точкой поверхности

Такая точка называется точкой уплощения поверхности. Расположение точек поверхности, близких к точке уплощения, относительно касательной плоскости поверхности в этой точке может быть чрезвычайно разнообразным (рис. 29).

Рис. 29. На рисунках приведены примеры точек уплощения касательная плоскость поверхности в точке уплощения