3°. Кривизна кривой на поверхности

Рассмотрим на поверхности произвольную -регулярную кривую проходящую через точку в направлении (рис. 30).

Рис. 30. Плоскость касается поверхности в точке кривая лежит на поверхности

Пусть

— естественная параметризация кривой Вычислим в три вектора:

единичныи вектор касательной к кривои

единичный вектор нормали к поверхности —

Тройка векторов линейно независима. Это позволяет представить вектор

в виде их линейной комбинации

Так как то

Коэффициенты имеют специальные названия:

Если кривизна кривой отлична от нуля, то для кривой определен единичный вектор главной нормали При этом

Рис. 31. Вторая производная радиус-вектора кривой является линейной комбинацией векторов

Рис. 32. Кривые на поверхности в точке X имеют одно и то же направление

Отсюда вытекает, что

Обозначим через угол между вектором главной нормали кривой и единичным вектором нормали к поверхности Тогда справедливо равенство

Покажем, что для всех кривых, проходящих по поверхности через точку в заданном направлении (т. е. имеющих одну и ту же касательную), произведение принимает одно и то же значение (рис. 32—33).

По правилу дифференцирования сложной функции имеем

Умножая обе части этой формулы на единичный вектор нормали скалярно, с учетом равенства (15) получим, что

Так как в точке кривой

то из предыдущего равенства вытекает формула

Подчеркнем, что все функции вычислены в точке

Выражение в правой части последней формулы зависит только от отношения т. е. только от направления кривой 2 в точке

Рис. 33. Векторы расположены в плоскости, проходящей через точку X перпендикулярно заданному направлению

Рис. 34. нормальное сечение поверхности в точке X в направлении 1

Проведем через точку плоскость параллельно вектору нормали к поверхности и данному направлению Кривая которая получается при пересечении поверхности с плоскостью , называется нормальным сечением поверхности в точке в заданном направлении (рис. 34).

Полученный выше результат можно сформулировать в виде теоремы.

ТЕОРЕМА 2 (Менье). Пусть через точку поверхности в заданном направлении проведена плоскость . Тогда проекция центра кривизны нормального сечения на плоскость совпадает с центром кривизны наклонного сечения

Для нормального сечения угол и формула (15) принимает следующий вид:

Полученное равенство означает, что величина равна кривизне нормального сечения поверхности в направлении

Проведенные рассуждения дают основание назвать величину нормальной кривизной поверхности в данной точке X и в данном направлении 1:

Если направление в точке поверхности задано, то нормальная кривизна в этом направлении может быть вычислена по формуле