5°. Внешние формы

С ковариантными кососимметричными тензорами тесно связаны полилинейные кососимметричные формы.

Полилинейную -линейную) форму определим как функцию векторных аргументов, линейную по каждому аргументу:

Полилинейная форма называется кососимметричной, или внешней, если при перестановке местами любой пары аргументов она изменяет свой знак на противоположный:

Пусть базис пространства

— произвольные векторы.

Тогда

где

Нетрудно заметить, что компоненты кососимметричного тензора типа в базисе

В самом деле, пусть — еще один базис пространства Раскладывая векторы по этому базису

получим, что

где

Сравнивая последние два выражения для с учетом формул получаем

Верно и обратное. Пусть кососимметричный тензор типа Тогда

— внешняя -форма.

Пример. Положим в последнем выражении Как было установлено в предыдущем пункте, для попарно различных индексов имеют место равенства

Поэтому

Пусть внешняя -форма и внешняя -форма. Тогда определена -форма

которая внешней формой, вообще говоря, уже не является.

Однако если подвергнуть произведение процедуре альтернирования (сходной с операцией альтернирования, определенной для тензоров в пункте 1°), то форма, получаемая в результате, будет уже внешней.

Для -линейной формы альтернирование определяется так:

Подвергнув форму фэтой процедуре, получим внешнюю -форму

Тем самым внешнее произведение внешних форм и определяется так:

Ясно, что внешнее произведение форм является внешней формой. Свойства внешнего умножения.

Равенство

сохранится и после альтернирования

Переставляя местами аргументы в правой части, получим