3°. Пространство Минковского. Преобразования Лоренца в пространстве Минковского

Пространство называется пространством Минковского. В СТО это пространство рассматривается как пространство событий и представляет для физики особый интерес.

Нумерация координат векторов в пространстве Минковского обычно начинается с нуля. Таким образом, согласно формуле (5), квадрат интервала в пространстве записывается так:

Ненулевой вектор х будем называть времениподобным, если пространственноподобным, если и изотропным, если

Докажем следующее

УТВЕРЖДЕНИЕ. Множество концов всех времениподобных векторов, начала которых совпадают с произвольной фиксированной точкой псевдоевклидова пространства, образует конус.

Пусть времениподобный вектор и произвольное вещественное число. Если координаты вектора х, то координаты вектора значит,

Поэтому вектор также времениподобен:

Так как конус — это множество концов всех векторов приведенных к общему началу произвольный вектор из некоторого множества векторов пространства V), то утверждение доказано.

Совершенно аналогично устанавливается, что и множество всех концов пространственноподобных векторов с общим началом, и множество всех изотропных векторов образуют конусы.

Конус времениподобных векторов принято обозначать символом (от англ. time - время), а конус пространственноподобных векторов — символом (от англ. space - пространство).

В физике координата отождествляется с выражением где с — скорость света, временная переменная, называются пространственными переменными.

Обратим внимание на структуру конуса времениподобных векторов в пространстве Минковского. Этот конус распадается на две связные открытые компоненты (конус будущего) и (конус прошлого). Конус пространственноподобных векторов является связным множеством.

Остановимся на множествах подробнее. Рассматривая вектор х как перемещение в пространстве можно считать, что

это перемещение характеризуется временным и пространственным перемещениями. Времениподобные векторы определяются условием Ясно, что в этом случае Если при этом то для перемещения х получается неравенство Такое перемещение по определению принадлежит множеству и может рассматриваться как перемещение материальной частицы «в будущее». Если то перемещение х принадлежит множеству и может рассматриваться как перемещение частицы «в прошлое» (в физике так интерпретируется движение античастиц).

Проведенные рассуждения объясняют наименования: конус будущего для множества и конус прошлого для множества

Займемся теперь преобразованиями Лоренца в пространстве Минковского

Пусть базис, связанный с галилеевой системой координат в псевдоевклидовом пространстве з. В этом случае квадрат интервала имеет вид (6) и поэтому матрица метрического тензора пространства запишется так:

Перейдем к новой галилеевой системе координат с базисом и выясним условия, которым должны удовлетворять коэффициенты матрицы В перехода от базиса к базису Имеем

Воспользуемся теперь тем обстоятельством, что матрица метрического тензора в базисе также имеет вид (7). Так как

то, полагая, например, (напомним, что индексы пробегают значения 0, 1, 2, 3) и обращаясь к матрице (7), приходим к соотношению

Аналогичным способом из соотношений (9) и (7) получаются еще две серии уравнений, связывающих коэффициенты матрицы перехода от базиса к базису

Соотношения (10), (11) можно записать в матричной форме. Для этого наряду с матрицей рассмотрим матрицу В, которая получается из матрицы В путем изменения знаков у элементов трех последних столбцов и последующего транспонирования. Тогда соотношения (10), (11) можно записать так:

где матрица (7). Полученная формула представляет собой аналог соответствующей формулы для матрицы С ортогонального преобразования евклидова пространства, записанной в ортонормированном базисе:

Так как

Обозначим через L совокупность всех общих преобразований Лоренца пространства Минковского и выделим из этих преобразований те, которые переводят каждый вектор из конуса будущего в вектор, также принадлежащий Совокупность таких преобразований обычно называют преобразованиями Лоренца пространства и обозначают символом

Выделим еще два подмножества из класса общих преобразований Лоренца — так называемые собственные преобразования Лоренца для которых и несобственные преобразования Лоренца, для которых

Примером несобственного преобразования Лоренца является отражение относительно всех трех пространственных осей:

Пусть В — матрица произвольного несобственного преобразования, матрица только что рассмотренного отражения. Ясно, что произведение произвольного несобственного преобразования Лоренца и отражения будет собственным преобразованием. Его матрица

Так как

то

Таким образом, всякое несобственное преобразование Лоренца является произведением некоторого собственного преобразования с матрицей В и отражения с матрицей

Отметим еще один класс преобразований Лоренца

(пересечение подмножеств и найдем те преобразования из этого класса, которые не изменяют координаты Для этого достаточно описать преобразования двумерного

псевдоевклидова подпространства с координатами квадрат интервала длины в котором вычисляется по формуле

Для рассматриваемого случая формулы (10), (11) запишутся так:

Полагая найдем отсюда выражения для коэффициентов матрицы В преобразования базисных векторов в базисные векторы

Знак в этих формулах выбирается из условия принадлежности преобразования классу

Окончательные формулы преобразования координат имеют следующий вид:

Для выяснения физического смысла полученных формул перепишем их, полагая

Здесь, как обычно, с — скорость света в вакууме, время, х, у, z - пространственные координаты. Итак,

Физический смысл постоянной

Допустим, что точка в системе координат неподвижна. Это означает, что время изменяется, а пространственные координаты х, у, z неизменны. Как ведет себя точка относительно координатной системы Найдем дифференциалы соотношений (18). Так как то из формул (18) получим, что

Поэтому

Таким образом, всякая точка нзподвижная в системе координат движется относительно системы координат с постоянной скоростью в направлении оси . С такой же скоростью движется и вся система (f, х, у, z) относительно системы (t, х, у, z).

Итак, где скорость движения координатной системы . Так как скорость любого движущегося тела меньше скорости света с, то Поэтому

Заменяя в формулах на получим

Формулы (19) называются формулами Лоренца. Они характеризуют переход от одной инерциальной системы координат к другой инерциальной системе и широко используются в физике.