Дифференциальная геометрия: первое знакомство
ОглавлениеПредисловиеГЛАВА 1. ТЕОРИЯ КРИВЫХ § 1. ПОНЯТИЕ КРИВОЙ 2°. Плоские кривые, задаваемые параметрически 3°. Пространственные кривые 4°. Кривая как линия пересечения поверхностей 5°. Кривая как годограф векторной функции § 2. ГЛАДКИЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ КРИВЫЕ 2°. Гладкие кривые 3°. Дифференцирование и интегрирование векторных функций 4°. Достаточные условия гладкости кривой 5°. Регулярные кривые § 3. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ 2°. Достаточные условия спрямляемости § 4. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ 1°. Определение соприкасающейся плоскости 2°. Достаточные условия существования соприкасающейся плоскости 3°. Главная нормаль и бинормаль кривой. Основной триэдр § 5. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ 2°. Кручение кривой 3°. Формулы Френе 4°. Вид кривой вблизи данной точки 5°. Натуральные уравнения кривой § 6. СОПРИКОСНОВЕНИЕ КРИВЫХ 2°. Достаточные условия соприкосновения 3°. Соприкасающаяся окружность 4°. Эволюта и эвольвента плоской кривой СВОДКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ, ФОРМУЛ, ФАКТОВ ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ § 1. ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ 1°. Плоские области 2°. Простая поверхность 3°. Локально простая поверхность 4°. Общая поверхность § 2. ГЛАДКИЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 1°. Касательная плоскость к поверхности 2°. Гладкие поверхности 3°. Дифференцирование и интегрирование векторных функций двух аргументов 4°. Дифференцируемость векторной функции и касательная плоскость 5°. Достаточные условия гладкости поверхности 6°. Регулярные поверхности § 3. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ. ИЗМЕРЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ 1°. Первая квадратичная форма поверхности 2°. Длина кривой на поверхности 3°. Угол между кривыми на поверхности 4°. Площадь поверхности 5°. Внутренняя геометрия поверхности. Изометричные поверхности § 4. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 1°. Определение второй квадратичной формы 2°. Классификация точек регулярной поверхности 3°. Кривизна кривой на поверхности 4°. Индикатриса Дюпена 5°. Главные кривизны 6°. Линии кривизны 7°. Формула Родрига 8°. Асимптотические направления 9°. Асимптотические линии 10°. Формула Эйлера 11°. Средняя и гауссова кривизны 12°. Поверхности вращения § 5. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 2°. Основные уравнения теории поверхностей 3°. Теорема Бонне § 6. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ 1°. Геодезическая кривизна кривой на поверхности 2°. Геодезические линии 3°. Полугеодезические координатные системы 4°. Полугеодезические полярные координаты 5°. Экстремальные свойства геодезических 6°. Поверхности постоянной кривизны СВОДКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ, ФОРМУЛ, ФАКТОВ ГЛАВА 3. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1°. Определение тензора 2°. Корректность определения тензора 3°. Равенство тензоров § 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ 1°. Определение алгебраических операций над тензорами 2°. Правило суммирования 3°. Теорема об алгебраических операциях над тензорами 4°. Операции над кососимметричными тензорами 5°. Внешние формы § 3. МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР 2°. Опускание и поднятие индексов Б. АФФИННОЕ (ТОЧЕЧНОЕ) ПРОСТРАНСТВО § 4. ТЕНЗОРЫ В ТОЧЕЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 2°. Аффинные координаты 3°. Тензоры в точечном пространстве § 5. ТЕНЗОРНОЕ ПОЛЕ § 6. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 2°. Тензоры в криволинейных координатах 3°. О способе задания тензорного поля § 7. МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР В ТОЧЕЧНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 2°. Длина дуги гладкой кривой 3°. Вычисление объема § 8. СИМВОЛЫ КРИСТОФФЕЛЯ 2°. Специальные системы координат 3°. Символы Кристоффеля 1-го и 2-го рода § 9. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 1°. Определение операции ковариантного дифференцирования 2°. Свойства операции ковариантного дифференцирования 3°. Тензор Римана-Крнстоффеля типа (1 3) 4°. Ковариантное дифференцирование и метрический тензор 5°. Тензор Римана-Кристоффеля типа (0 4) В. АРИФМЕТИЧЕСКОЕ (КООРДИНАТНОЕ) ПРОСТРАНСТВО § 10. ТЕНЗОРЫ В КООРДИНАТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 2°. Преобразования координат 3°. Понятие тензора 4°. Основные алгебраические операции над тензорами 5°. Метрический тензор в координатном пространстве 6°. Символы Кристоффеля и операция ковариантного дифференцирования 7°. Тензор Римана-Кристоффеля ГЛАВА 4. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ 2°. Примеры римановых пространств § 2. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ 2°. Преобразование координат в римановом и касательном пространствах 3°. Локально нормальные координаты 4°. Каноническое разложение метрического тензора § 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ 2°. Векторы в римановом пространстве 3°. Параллельный перенос векторов в римановом пространстве 4°. Параллельный перенос тензоров 5°. Абсолютный дифференциал и абсолютная производная 6°. Техника абсолютного дифференцирования 7°. Еще раз о параллельном переносе тензоров 8°. Параллельный перенос некоторых важных тензоров § 4. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 2°. Геодезические как экстремали § 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 2°. Полугеодезические координаты СВОДКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ, ФОРМУЛ, ФАКТОВ ГЛАВА 5. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ § 1. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ТОПОЛОГИИ 1°. Топология координатного пространства 2°. Топологическое пространство 3°, Топологическое подпространство 4°. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм 5°. Топологическое произведение 6°. Связность 7°. Отделимость 8°. Компактность 9°. Топологическое многообразие § 2. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 2°. Гладкие функции 3°. Разбиение единицы 4°. Произведение гладких многообразий § 3. КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО 1°. Касательный вектор 2°. Касательное пространство § 4. ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 1°. Гладкое отображение. Диффеоморфизм 2°. Дифференциал гладкого отображения 3°. Ранг гладкого отображения § 5. ПОДМНОГООБРАЗИЯ § 6. ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ 2°. Риманова метрика 3°. Внешние дифференциальные формы на многообразии § 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО МНОГООБРАЗИЮ 2°. Многообразие с краем 3°. Интеграл от дифференциальной формы по гладкому многообразию 4°. Формула Стокса СВОДКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ, ФОРМУЛ, ФАКТОВ ГЛАВА 6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ 2°. Движение точки в поле сил 3°. Движение точки в параллельном поле сил 4°. Движение точки в центральном поле сил 5°. Движение в поле сил тяготения 6°. Движение заряженной частицы в электромагнитном поле 7°. Движение заряженной частицы в постоянном электромагнитном поле § 2. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ 2°. Изометрические погружения плоскости Лобачевского в евклидово пространство Е3 3°. Доказательство теоремы Гильберта о невозможности в евклидовом пространстве Е3 полной плоскости Лобачевского 4°. Доказательство существования регулярного решения уравнения синус-Гордона на всей плоскости 5°. Геометрическая интерпретация произвольных решений уравнения синус-Гордона 6°. Понятие солитонных решений дифференциальных уравнений 7°. Физическая интерпретация поверхностей постоянной отрицательной кривизны § 3. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА В ТЕНЗОРНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ 2°. Операции опускания и поднятия индексов 3°. Ортонормированные базисы в пространстве En 4°. Дискриминантный тензор 5°. Ориентированный объем 6°. Векторное произведение 7°. Двойное векторное произведение 8°. Расходимость вектора 9°. Оператор Бельтрами — Лапласа 10°. Оператор Бельтрами — Лапласа в криволинейных координатах § 4. ПСЕВДОЕВКЛМДОВО И ПСЕВДОРИМАНОВО ПРОСТРАНСТВА 2°. Галилеевы координаты. Преобразования Лоренца 3°. Пространство Минковского. Преобразования Лоренца в пространстве Минковского 4°. Псевдориманово пространство. Метрический тензор псевдориманова пространства § 5. ПРОЕКТИРОВАНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ 2°. Уравнение криволинейного четырехугольника 3°. Составные кривые 4°. Составные поверхности |
