Дифференциальная геометрия: первое знакомство

  

Э.Г.Позняк, Е.В.Шикин Дифференциальная геометрия: первое знакомство М.: Изд-во МГУ, 1990. - 384 с.

Книга знакомит с основными понятиями теории кривых и поверхностей, элементами тензорного исчисления, римановой геометрии и гладких многообразий, а также с некоторыми их приложениями в математике, физике, технике. Материал подробно иллюстрирован примерами и рисунками.

Книга рассчитана на математиков-прикладников, физиков, механиков, инженеров. Предполагается знакомство читателя с аналитической геометрией, линейной алгеброй, дифференциальным и интегральным исчислением.



Оглавление

Предисловие
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ КРИВЫХ
§ 1. ПОНЯТИЕ КРИВОЙ
2°. Плоские кривые, задаваемые параметрически
3°. Пространственные кривые
4°. Кривая как линия пересечения поверхностей
5°. Кривая как годограф векторной функции
§ 2. ГЛАДКИЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ КРИВЫЕ
2°. Гладкие кривые
3°. Дифференцирование и интегрирование векторных функций
4°. Достаточные условия гладкости кривой
5°. Регулярные кривые
§ 3. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ
2°. Достаточные условия спрямляемости
§ 4. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ
1°. Определение соприкасающейся плоскости
2°. Достаточные условия существования соприкасающейся плоскости
3°. Главная нормаль и бинормаль кривой. Основной триэдр
§ 5. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ
2°. Кручение кривой
3°. Формулы Френе
4°. Вид кривой вблизи данной точки
5°. Натуральные уравнения кривой
§ 6. СОПРИКОСНОВЕНИЕ КРИВЫХ
2°. Достаточные условия соприкосновения
3°. Соприкасающаяся окружность
4°. Эволюта и эвольвента плоской кривой
СВОДКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ, ФОРМУЛ, ФАКТОВ
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 1. ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ
1°. Плоские области
2°. Простая поверхность
3°. Локально простая поверхность
4°. Общая поверхность
§ 2. ГЛАДКИЕ И РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
1°. Касательная плоскость к поверхности
2°. Гладкие поверхности
3°. Дифференцирование и интегрирование векторных функций двух аргументов
4°. Дифференцируемость векторной функции и касательная плоскость
5°. Достаточные условия гладкости поверхности
6°. Регулярные поверхности
§ 3. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ. ИЗМЕРЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
1°. Первая квадратичная форма поверхности
2°. Длина кривой на поверхности
3°. Угол между кривыми на поверхности
4°. Площадь поверхности
5°. Внутренняя геометрия поверхности. Изометричные поверхности
§ 4. ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
1°. Определение второй квадратичной формы
2°. Классификация точек регулярной поверхности
3°. Кривизна кривой на поверхности
4°. Индикатриса Дюпена
5°. Главные кривизны
6°. Линии кривизны
7°. Формула Родрига
8°. Асимптотические направления
9°. Асимптотические линии
10°. Формула Эйлера
11°. Средняя и гауссова кривизны
12°. Поверхности вращения
§ 5. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
2°. Основные уравнения теории поверхностей
3°. Теорема Бонне
§ 6. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
1°. Геодезическая кривизна кривой на поверхности
2°. Геодезические линии
3°. Полугеодезические координатные системы
4°. Полугеодезические полярные координаты
5°. Экстремальные свойства геодезических
6°. Поверхности постоянной кривизны
СВОДКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ, ФОРМУЛ, ФАКТОВ
ГЛАВА 3. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1°. Определение тензора
2°. Корректность определения тензора
3°. Равенство тензоров
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ
1°. Определение алгебраических операций над тензорами
2°. Правило суммирования
3°. Теорема об алгебраических операциях над тензорами
4°. Операции над кососимметричными тензорами
5°. Внешние формы
§ 3. МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР
2°. Опускание и поднятие индексов
Б. АФФИННОЕ (ТОЧЕЧНОЕ) ПРОСТРАНСТВО
§ 4. ТЕНЗОРЫ В ТОЧЕЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
2°. Аффинные координаты
3°. Тензоры в точечном пространстве
§ 5. ТЕНЗОРНОЕ ПОЛЕ
§ 6. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
2°. Тензоры в криволинейных координатах
3°. О способе задания тензорного поля
§ 7. МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР В ТОЧЕЧНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
2°. Длина дуги гладкой кривой
3°. Вычисление объема
§ 8. СИМВОЛЫ КРИСТОФФЕЛЯ
2°. Специальные системы координат
3°. Символы Кристоффеля 1-го и 2-го рода
§ 9. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
1°. Определение операции ковариантного дифференцирования
2°. Свойства операции ковариантного дифференцирования
3°. Тензор Римана-Крнстоффеля типа (1 3)
4°. Ковариантное дифференцирование и метрический тензор
5°. Тензор Римана-Кристоффеля типа (0 4)
В. АРИФМЕТИЧЕСКОЕ (КООРДИНАТНОЕ) ПРОСТРАНСТВО
§ 10. ТЕНЗОРЫ В КООРДИНАТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
2°. Преобразования координат
3°. Понятие тензора
4°. Основные алгебраические операции над тензорами
5°. Метрический тензор в координатном пространстве
6°. Символы Кристоффеля и операция ковариантного дифференцирования
7°. Тензор Римана-Кристоффеля
ГЛАВА 4. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ
2°. Примеры римановых пространств
§ 2. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
2°. Преобразование координат в римановом и касательном пространствах
3°. Локально нормальные координаты
4°. Каноническое разложение метрического тензора
§ 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ
2°. Векторы в римановом пространстве
3°. Параллельный перенос векторов в римановом пространстве
4°. Параллельный перенос тензоров
5°. Абсолютный дифференциал и абсолютная производная
6°. Техника абсолютного дифференцирования
7°. Еще раз о параллельном переносе тензоров
8°. Параллельный перенос некоторых важных тензоров
§ 4. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
2°. Геодезические как экстремали
§ 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
2°. Полугеодезические координаты
СВОДКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ, ФОРМУЛ, ФАКТОВ
ГЛАВА 5. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 1. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ТОПОЛОГИИ
1°. Топология координатного пространства
2°. Топологическое пространство
3°, Топологическое подпространство
4°. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм
5°. Топологическое произведение
6°. Связность
7°. Отделимость
8°. Компактность
9°. Топологическое многообразие
§ 2. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
2°. Гладкие функции
3°. Разбиение единицы
4°. Произведение гладких многообразий
§ 3. КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
1°. Касательный вектор
2°. Касательное пространство
§ 4. ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
1°. Гладкое отображение. Диффеоморфизм
2°. Дифференциал гладкого отображения
3°. Ранг гладкого отображения
§ 5. ПОДМНОГООБРАЗИЯ
§ 6. ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ
2°. Риманова метрика
3°. Внешние дифференциальные формы на многообразии
§ 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО МНОГООБРАЗИЮ
2°. Многообразие с краем
3°. Интеграл от дифференциальной формы по гладкому многообразию
4°. Формула Стокса
СВОДКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ, ФОРМУЛ, ФАКТОВ
ГЛАВА 6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
2°. Движение точки в поле сил
3°. Движение точки в параллельном поле сил
4°. Движение точки в центральном поле сил
5°. Движение в поле сил тяготения
6°. Движение заряженной частицы в электромагнитном поле
7°. Движение заряженной частицы в постоянном электромагнитном поле
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ
2°. Изометрические погружения плоскости Лобачевского в евклидово пространство Е3
3°. Доказательство теоремы Гильберта о невозможности в евклидовом пространстве Е3 полной плоскости Лобачевского
4°. Доказательство существования регулярного решения уравнения синус-Гордона на всей плоскости
5°. Геометрическая интерпретация произвольных решений уравнения синус-Гордона
6°. Понятие солитонных решений дифференциальных уравнений
7°. Физическая интерпретация поверхностей постоянной отрицательной кривизны
§ 3. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА В ТЕНЗОРНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ
2°. Операции опускания и поднятия индексов
3°. Ортонормированные базисы в пространстве En
4°. Дискриминантный тензор
5°. Ориентированный объем
6°. Векторное произведение
7°. Двойное векторное произведение
8°. Расходимость вектора
9°. Оператор Бельтрами — Лапласа
10°. Оператор Бельтрами — Лапласа в криволинейных координатах
§ 4. ПСЕВДОЕВКЛМДОВО И ПСЕВДОРИМАНОВО ПРОСТРАНСТВА
2°. Галилеевы координаты. Преобразования Лоренца
3°. Пространство Минковского. Преобразования Лоренца в пространстве Минковского
4°. Псевдориманово пространство. Метрический тензор псевдориманова пространства
§ 5. ПРОЕКТИРОВАНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
2°. Уравнение криволинейного четырехугольника
3°. Составные кривые
4°. Составные поверхности
email@scask.ru