2°. Полугеодезические координаты

Рассмотрим в римановом пространстве гиперповерхность определяемую параметрическими уравнениями

Потребуем, чтобы ранг матрицы

был равен (это требование гарантирует независимость функций

Построим в каждой точке гиперповерхности касательные пространства к объемлющему пространству

Пусть - точка гиперповерхности Введем на гиперповерхности координатные линии.

Если изменяется, а фиксированы, то соотношения (24) определят на гиперповерхности кривую - (координатную) линию касательный вектор к -линии расположен в касательном пространстве и имеет координаты

Аналогично вводятся координатная линия координатная линия и касательные векторы к ним.

Обратимся к матрице (25). Ее строки — координаты построенных касательных векторов к линиям Из того, что ранг матрицы (25) равен числу этих векторов, вытекает, что построенные векторы линейно независимы (рис. 4).

Линейную оболочку этих векторов можно рассматривать как касательное пространство к гиперповерхности

В касательном пространстве построим нормаль к пространству в точке В направлении проведем из точки в римановом пространстве геодезическую — геодезическую, ортогональную к гиперповерхности

Проделаем подобное построение в каждой точке гиперповерхности.

Рассмотрим точку риманова пространства расположенную вблизи гиперповерхности Через эту точку проходит и притом ровно одна геодезическая, ортогональная Предположим для определенности, что это геодезическая, исходящая из точки

Обозначим через длину дуги этой геодезической. Тогда набор где - координаты точки можно рассматривать как координаты точки в пространстве

Докажем это.

Рис. 4. Полугеодезическая координатная система

Из наших рассуждений следует, что каждому набору чисел отвечает точка рнманова пространства и значит, ее координаты будут функциями

причем при эти функции совпадают с функциями (24). Рассмотрим определитель

При его строки представляют собой координаты векторов, касательных к линиям гиперповерхности (первые строк), и вектора ортогонального подпространству (последняя строка). Эти векторов линейно независимы. Поэтому определитель (27) при отличен от нуля.

В силу непрерывности частных производных функций (26) этот определитель будет отличен от нуля в некоторой области пространства содержащей гиперповерхность

Следовательно, в этой области являются координатами в римановом пространстве

Построенные координаты называются полугеодезическими координатами с базой

Свойства полугеодезических координат.

1+. Вид линейного элемента в полугеодезических координатах.

Будем обозначать полугеодезические координаты базой следующим образом: Подчеркнем еще раз, что координатные линии геодезические, параметр вдоль которых — длина дуги. Эти геодезические пересекают координатные гиперповерхности под прямым углом.

Пусть произвольная точка в окрестности базы Обозначим через

вектор смещения из точки вдоль координатной линии Ясно, что

Вектор смещения

из точки по гиперповерхности обладает следующим свойством:

Так как координатные линии ортогональны гиперповерхностям то скалярное произведение векторов должно быть равно нулю:

Отсюда согласно формулам (28), (29) получаем

Вследствие того, что произвольны, приходим к равенствам

Запишем теперь общее выражение линейного элемента для смещения вдоль координатной линии Так как в этом случае то

Тем самым

Таким образом, линейный элемент в полугеодезической системе координат с базой имеет следующий вид:

2+. Эквидистантные гиперповерхности. Пусть гиперповерхность в римановом пространстве Проведем через произвольную точку гиперповерхности ортогональную - ей геодезическую и отложим на этой геодезической от точки отрезок длины а. Поступим так с каждой геодезической, ортогональной гиперповерхности и рассмотрим множество концов построенных отрезков. Это множество является гиперповерхностью пространства Гиперповерхность называется эквидистантной по отношению к заданной гиперповерхности

Замечание. Так как от каждой точки гиперповерхности на ортогональной ей геодезической можно отложить два отрезка одной и той же длины, то в результате предложенного построения получится два множества, разделенных гиперповерхностью Каждое из них будет гиперповерхностью, эквидистантной по отношению к

Справедливо следующее свойство эквидистантной гиперповерхности Любая геодезическая, ортогональная гиперповерхности будет ортогональна и эквидистантной ей гиперповерхности

Фактически это свойство было установлено еще в самом начале этого пункта, когда речь шла о построении полугеодезических координат. Построенные там координатные гиперповерхности эквидистантные по отношению к базе пересекают геодезические, ортогональные гиперповерхности под прямым углом.

Укажем одно свойство эквидистантных поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве

Пусть замкнутая выпуклая регулярная поверхность. Отложим на нормалях к поверхности (это геодезические в пространстве ортогональные поверхности во внешнюю сторону отрезки постоянной длины а. Концы этих отрезков образуют эквидистантную поверхность по отношению к заданной

Площади поверхностей связаны соотношением

Доказательство предоставляется читателю.

Это равенство обобщается на многомерный случай.