2°. Достаточные условия спрямляемости

ТЕОРЕМА 3. Пусть простая кривая L задана векторной функцией Тогда если функции непрерывны на сегменте то кривая L спрямляема и длина ее дуги может быть вычислена по формуле

Пусть длина вписанной в кривую L ломаной, отвечающей разбиению 2) сегмента на частичные сегменты точками Имеем

где

(для разностей в фигурных скобках мы применили формулу конечных приращений).

Так как функции непрерывны на сегменте то они ограничены по абсолютной величине некоторой постоянной С. Поэтому из формулы (2) вытекает, что

т. е. множество длин ломаных, вписанных в кривую ограничено. Тем самым спрямляемая кривая.

Перейдем к обоснованию формулы (1). Предварительно запишем выражение для интеграла в этой формуле следующим образом:

где (для интегралов под знаком суммы мы воспользовались формулой среднего значения).

Сравним интеграл и длину ломаной Из соотношений (2) и (3), воспользовавшись неравенством

получаем, что

Пусть данное число. По свойству равномерной непрерывности функций из последнего соотношения следует, что для всех достаточно мелких разбиений сегмента выполняется неравенство

Так как 5 — точная верхняя грань множества то среди длин отвечающих достаточно мелким разбиениям сегмента найдутся такие, для которых справедливо неравенство (4) и неравенства

Равенство (1) вытекает из соотношений (4) и (5) в силу произвольности

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть выполнены условия теоремы любая точка сегмента Тогда длина дуги где точка кривой соответствующая равна

Из формулы (6) получаем важный вывод.

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть Тогда существует функция обратная функции и дифференцируемая столько же раз, сколько и функция

Это следует из правила дифференцирования обратных функций. Например, первая производная

выражается через первую производную вторая через

Таким образом, если регулярная кривая класса то при переходе к натуральному параметру она также будет регулярной кривой класса

Замечание. Если длина дуги кривой выбрана за параметр, т. е. то и вектор ортогонален вектору

Действительно, в рассматриваемом случае

Дифференцируя равенство получим, что Последнее означает, что векторы ортогональны.

Приведем формулу для длины дуги графика гладкой функции

Дифференциал дуги.

Из формулы (6) дифференцированием по верхнему пределу интеграла получаем, что

Отсюда, учитывая, что

приходим к формуле для дифференциала дуги