5°. Тензор Римана-Кристоффеля типа (0 4)

Положим

ТЕОРЕМА 2. Справедлива следующая формула:

Пользуясь определением (8) тензора запишем формулу (13) подробнее. Имеем

Первую группу слагаемых в правой части равенства (15) можно записать так:

Расписав разность

с учетом формулы (16) из § 8 подробно, получим

Преобразуем теперь вторую группу слагаемых из формулы (15), прибавив к ней разность

из соотношения (16). Имеем

Собирая полученные выражения, убеждаемся в справедливости сформулированного утверждения

Из доказанной формулы вытекает следующий неожиданный вывод.

В случае, когда координатная система является прямолинейной, компоненты метрического тензора — постоянные числа. Тем самым их производные равны нулю. Отсюда следует, что вычисленные по ним символы Кристоффеля также равны нулю. Таким образом, компоненты тензора Римана-Кристоффеля в прямолинейных, а значит и в любых других координатах, нулевые. Это позволяет сформулировать следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 3. Тензор Римана-Кристоффеля точечного евклидова пространства является нулевым.