СВОДКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ, ФОРМУЛ, ФАКТОВ

А. Простой поверхностью называется множество точек , координаты х, у, z которых определяются соотношениями

(здесь ограниченная плоская область), если функции непрерывны в замыкании и разным точкам замыкания 3) отвечают разные точки координаты которых вычислены по формулам

Границей простой поверхности называется множество точек координаты х, у, z которых вычисляются по формулам при условии, что точка принадлежит границе области .

Соотношения называются параметрическими уравнениями простой поверхности

Вектором (радиус-вектором) поверхности называется векторная функция

В. Окрестностью точки X на множестве трехмерного евклидова пространства называется пересечение множества и открытого шара с центром в точке

Локально-простой поверхностью называется связное множество в пространстве у каждой точки которого есть окрестность, представляющая собой простую поверхность.

Г. Плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке если плоскость проходит через эту точку и при стремлении переменной точки X поверхности к точке угол между прямой и плоскостью стремится к нулю.

Д. Простая поверхность называется гладкой в точке если в этой точке существует касательная плоскость к поверхности и некоторая окрестность точки на поверхности однозначно проектируется на эту плоскость.

Простая поверхность называется гладкой, если она является гладкой в каждой точке и касательные плоскости этой поверхности изменяются непрерывно.

Достаточные условия гладкости поверхности: если частные производные вектора поверхности непрерывны в области задания параметров и и всюду в этой области то поверхность является гладкой в области .

Е. Прямая, проходящая через точку гладкой поверхности перпендикулярно касательной плоскости поверхности в этой точке, называется нормалью поверхности в точке если — вектор поверхности то

— единичный вектор ее нормали.

Ж. Поверхность заданная вектором называется -регулярной, если в области задания, параметров векторная функция имеет непрерывные частные производные всех порядков до включительно и всюду в области выполняется неравенство

3. Первой квадратичной формой гладкой поверхности заданной вектором называется выражение

где коэффициенты первой квадратичной формы.

И. Длина кривой , лежащей на гладкой поверхности векторным уравнением вычисляется по формуле

где - уравнения кривой на поверхности

Угол между кривыми , лежащими на гладкой поверхности и пересекающимися в точке вычисляется по формуле

(здесь уравнения кривых на поверхности; точке соответствуют нулевые значения параметров; коэффициенты вычислены в точке

Площадь а гладкой поверхности заданной вектором вычисляется по формуле

Площадь графика функции вычисляется по формуле

К. Второй квадратичной формой регулярной поверхности заданной вектором называется выражение

где

- коэффициенты второй квадратичной формы, единичный вектор нормали к поверхности .

Л. Точка регулярной поверхности называется эллиптической, если дискриминант второй квадратичной формы поверхности 5 в этой точке положителен: .

Точка регулярной поверхности называется эллиптической, если дискриминант второй квадратичной формы поверхности в этой точке положителен:

Точка регулярной поверхности называется гиперболической, если дискриминант второй квадратичной формы поверхности в этой точке отрицателен:

Точка регулярной поверхности называется параболической, если но

Точка регулярной поверхности называется точкой уплощения, если все коэффициенты второй квадратичной формы поверхности в этой точке равны нулю:

М. Сечением поверхности в точке X и в направлении 1 на поверхности называется плоская кривая, которая получается при пересечении этой поверхности плоскостью , проходящей через точку X параллельно вектору 1.

Сечение поверхности называется нормальным, если плоскость проходит через нормаль поверхности в точке

Нормальной кривизной поверхности в точке X и в направлении 1 называется кривизна нормального сечения поверхности в этой точке и в этом направлении.

Нормальная кривизна поверхности в направлении ! и кривизна наклонного сечения поверхности в этом же направлении связаны равенством где угол между плоскостями Соответствующих сечений (формула Менье).

Нормальная кривизна поверхности заданной вектором в направлении вычисляется по формуле

Н. Направление на регулярной поверхности называется главным, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении достигает экстремального значения.

В каждой точке регулярной поверхности существует не менее двух главных направлений.

Экстремальные значения нормальных кривизн в главных правлениях называются главными кривизнами поверхности в данной точке.

Точка на поверхности, в которой каждое направление является главным, может быть либо точкой уплощения либо эллиптической точкой округления

О. Кривая на поверхности направление которой в каждой ее точке совпадает с главным направлением на поверхности в этой точке, называется линией кривизны.

Дифференциальное уравнение линий кривизны:

В окрестности каждой точки поверхности не являющейся ни точкой уплощения ни точкой округления, поверхность можно параметризовать так, что координатные линии будут линиями кривизны.

Теорема Родрига. Производная единичного вектора нормали поверхности и производная вектора поверхности, вычисленные в главном направлении, пропорциональны; коэффициент пропорциональности только знаком отличается от соответствующей главной кривизны.

П. Направление на регулярной поверхности называется асимптотическим, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении обращается в нуль.

Кривая на поверхности называется асимптотической линией, если в каждой своей точке эта кривая имеет асимптотическое направление.

Дифференциальное уравнение асимптотических линий:

В окрестности гиперболической точки поверхности можно ввести параметризацию, при которой координатные линии будут асимптотическими линиями этой поверхности.

Прямая, лежащая на регулярной поверхности, является ее асимптотической линией.

Касательная плоскость поверхности в каждой точке асимптотической линии является ее соприкасающейся плоскостью.

Р. Нормальная кривизна поверхности в точке X вычисляется по формуле Эйлера

где главные кривизны поверхности в точке угол с главным направлением, соответствующим главной кривизне

С. Средней кривизной поверхности называется полусумма ее главных кривизн

Гауссовой кривизной К поверхности называется произведение ее главных кривизн

Т. Деривационные формулы Вейнгартена поверхности, заданной вектором

где единичный вектор нормали поверхности,

— символы Кристоффеля,

коэффициенты первой и второй квадратичных форм.

У. Основные уравнения теории поверхностей: формула Гаусса —

формулы Петерсона-Кодацци:

Ф. Теорема Бонне. Пусть в односвязной области на плоскости параметров заданы квадратичные формы

первая из которых является положительно определенной, и коэффициенты этих форм связаны соотношениями Тогда существует регулярная поверхность, для которой заданные формы (I) и (II) являются соответственно первой и второй квадратичными формами. Эта поверхность определена однозначно с точностью до положения в пространстве.

X. Геодезической кривизной кризой 3 на поверхности называется

где единичные векторы касательной кривой 3 и главной нормали соответственно, кривизна кривой единичный вектор нормали поверхности

Геодезическая кривизна кривой на поверхности, заданной вектором вычисляется по формуле

где уравнения кривой на поверхности, — символы Кристоффеля Кривая на регулярной поверхности называется геодезической линией, если геодезическая кривизна этой кривой обращается в нуль в каждой ее точке.

Кривая на поверхности является геодезической линией в том и только в том случае, когда главная нормаль в каждой точке кривой где ее кривизна отлична от нуля, совпадает с нормалью поверхности в этой точке.

Через любую точку регулярной поверхности во всяком направлении проходит геодезическая, и притом только одна.

Экстремальное свойство геодезических: длина любой спрямляемой кривой 3 на поверхности соединяющей достаточно близкие точки поверхности не меньше длины дуги геодезической линии соединяющей эти точки.

Ч. Координатная система на поверхности называется полугеодезической, если координатные линии различных семейств попарно ортогональны и одно из семейств состоит из геодезических линий. На регулярной поверхности в достаточно малой окрестности любой ее точки можно ввести полугеодезическую систему координат. Первая квадратичная форма в полугеодезических координатах и и имеет вид

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)