Главная > Дифференциальная геометрия: первое знакомство
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

СВОДКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ, ФОРМУЛ, ФАКТОВ

А. Простой поверхностью называется множество точек , координаты х, у, z которых определяются соотношениями

(здесь ограниченная плоская область), если функции непрерывны в замыкании и разным точкам замыкания 3) отвечают разные точки координаты которых вычислены по формулам

Границей простой поверхности называется множество точек координаты х, у, z которых вычисляются по формулам при условии, что точка принадлежит границе области .

Соотношения называются параметрическими уравнениями простой поверхности

Вектором (радиус-вектором) поверхности называется векторная функция

В. Окрестностью точки X на множестве трехмерного евклидова пространства называется пересечение множества и открытого шара с центром в точке

Локально-простой поверхностью называется связное множество в пространстве у каждой точки которого есть окрестность, представляющая собой простую поверхность.

Г. Плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке если плоскость проходит через эту точку и при стремлении переменной точки X поверхности к точке угол между прямой и плоскостью стремится к нулю.

Д. Простая поверхность называется гладкой в точке если в этой точке существует касательная плоскость к поверхности и некоторая окрестность точки на поверхности однозначно проектируется на эту плоскость.

Простая поверхность называется гладкой, если она является гладкой в каждой точке и касательные плоскости этой поверхности изменяются непрерывно.

Достаточные условия гладкости поверхности: если частные производные вектора поверхности непрерывны в области задания параметров и и всюду в этой области то поверхность является гладкой в области .

Е. Прямая, проходящая через точку гладкой поверхности перпендикулярно касательной плоскости поверхности в этой точке, называется нормалью поверхности в точке если вектор поверхности то

— единичный вектор ее нормали.

Ж. Поверхность заданная вектором называется -регулярной, если в области задания, параметров векторная функция имеет непрерывные частные производные всех порядков до включительно и всюду в области выполняется неравенство

3. Первой квадратичной формой гладкой поверхности заданной вектором называется выражение

где коэффициенты первой квадратичной формы.

И. Длина кривой , лежащей на гладкой поверхности векторным уравнением вычисляется по формуле

где - уравнения кривой на поверхности

Угол между кривыми , лежащими на гладкой поверхности и пересекающимися в точке вычисляется по формуле

(здесь уравнения кривых на поверхности; точке соответствуют нулевые значения параметров; коэффициенты вычислены в точке

Площадь а гладкой поверхности заданной вектором вычисляется по формуле

Площадь графика функции вычисляется по формуле

К. Второй квадратичной формой регулярной поверхности заданной вектором называется выражение

где

- коэффициенты второй квадратичной формы, единичный вектор нормали к поверхности .

Л. Точка регулярной поверхности называется эллиптической, если дискриминант второй квадратичной формы поверхности 5 в этой точке положителен: .

Точка регулярной поверхности называется эллиптической, если дискриминант второй квадратичной формы поверхности в этой точке положителен:

Точка регулярной поверхности называется гиперболической, если дискриминант второй квадратичной формы поверхности в этой точке отрицателен:

Точка регулярной поверхности называется параболической, если но

Точка регулярной поверхности называется точкой уплощения, если все коэффициенты второй квадратичной формы поверхности в этой точке равны нулю:

М. Сечением поверхности в точке X и в направлении 1 на поверхности называется плоская кривая, которая получается при пересечении этой поверхности плоскостью , проходящей через точку X параллельно вектору 1.

Сечение поверхности называется нормальным, если плоскость проходит через нормаль поверхности в точке

Нормальной кривизной поверхности в точке X и в направлении 1 называется кривизна нормального сечения поверхности в этой точке и в этом направлении.

Нормальная кривизна поверхности в направлении ! и кривизна наклонного сечения поверхности в этом же направлении связаны равенством где угол между плоскостями Соответствующих сечений (формула Менье).

Нормальная кривизна поверхности заданной вектором в направлении вычисляется по формуле

Н. Направление на регулярной поверхности называется главным, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении достигает экстремального значения.

В каждой точке регулярной поверхности существует не менее двух главных направлений.

Экстремальные значения нормальных кривизн в главных правлениях называются главными кривизнами поверхности в данной точке.

Точка на поверхности, в которой каждое направление является главным, может быть либо точкой уплощения либо эллиптической точкой округления

О. Кривая на поверхности направление которой в каждой ее точке совпадает с главным направлением на поверхности в этой точке, называется линией кривизны.

Дифференциальное уравнение линий кривизны:

В окрестности каждой точки поверхности не являющейся ни точкой уплощения ни точкой округления, поверхность можно параметризовать так, что координатные линии будут линиями кривизны.

Теорема Родрига. Производная единичного вектора нормали поверхности и производная вектора поверхности, вычисленные в главном направлении, пропорциональны; коэффициент пропорциональности только знаком отличается от соответствующей главной кривизны.

П. Направление на регулярной поверхности называется асимптотическим, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении обращается в нуль.

Кривая на поверхности называется асимптотической линией, если в каждой своей точке эта кривая имеет асимптотическое направление.

Дифференциальное уравнение асимптотических линий:

В окрестности гиперболической точки поверхности можно ввести параметризацию, при которой координатные линии будут асимптотическими линиями этой поверхности.

Прямая, лежащая на регулярной поверхности, является ее асимптотической линией.

Касательная плоскость поверхности в каждой точке асимптотической линии является ее соприкасающейся плоскостью.

Р. Нормальная кривизна поверхности в точке X вычисляется по формуле Эйлера

где главные кривизны поверхности в точке угол с главным направлением, соответствующим главной кривизне

С. Средней кривизной поверхности называется полусумма ее главных кривизн

Гауссовой кривизной К поверхности называется произведение ее главных кривизн

Т. Деривационные формулы Вейнгартена поверхности, заданной вектором

где единичный вектор нормали поверхности,

— символы Кристоффеля,

коэффициенты первой и второй квадратичных форм.

У. Основные уравнения теории поверхностей: формула Гаусса —

формулы Петерсона-Кодацци:

Ф. Теорема Бонне. Пусть в односвязной области на плоскости параметров заданы квадратичные формы

первая из которых является положительно определенной, и коэффициенты этих форм связаны соотношениями Тогда существует регулярная поверхность, для которой заданные формы (I) и (II) являются соответственно первой и второй квадратичными формами. Эта поверхность определена однозначно с точностью до положения в пространстве.

X. Геодезической кривизной кризой 3 на поверхности называется

где единичные векторы касательной кривой 3 и главной нормали соответственно, кривизна кривой единичный вектор нормали поверхности

Геодезическая кривизна кривой на поверхности, заданной вектором вычисляется по формуле

где уравнения кривой на поверхности, — символы Кристоффеля Кривая на регулярной поверхности называется геодезической линией, если геодезическая кривизна этой кривой обращается в нуль в каждой ее точке.

Кривая на поверхности является геодезической линией в том и только в том случае, когда главная нормаль в каждой точке кривой где ее кривизна отлична от нуля, совпадает с нормалью поверхности в этой точке.

Через любую точку регулярной поверхности во всяком направлении проходит геодезическая, и притом только одна.

Экстремальное свойство геодезических: длина любой спрямляемой кривой 3 на поверхности соединяющей достаточно близкие точки поверхности не меньше длины дуги геодезической линии соединяющей эти точки.

Ч. Координатная система на поверхности называется полугеодезической, если координатные линии различных семейств попарно ортогональны и одно из семейств состоит из геодезических линий. На регулярной поверхности в достаточно малой окрестности любой ее точки можно ввести полугеодезическую систему координат. Первая квадратичная форма в полугеодезических координатах и и имеет вид

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru