СВОДКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ, ФОРМУЛ, ФАКТОВ

A. Простой кривой называется множество L точек пространства, координаты х, у, z которых определяются соотношениями

если функции непрерывны на отрезке и разным значениям параметра из отрезка отвечают разные точки множества Соотношения называются параметрическими уравнениями кривой

Б. Множество L точек координаты х, у, z которых определяются соотношениями называется простой замкнутой кривой, если функции непрерывны на отрезке

и разным значениям параметра из полуинтервала отвечают разные точки множества L.

B. Вектором кривой называется векторная функция

Г. Касательной к кривой L в точке называется прямая меньший из углов которой с переменной прямой (—точка кривой стремится к нулю при Уравнение касательной к кривой заданной вектором в точке отвечающей значению параметра

R - вектор произвольной точки касательной.

Д. Кривая L называется гладкой в точке если в этой точке существует касательная к кривой L и некоторая окрестность точки на кривой L однозначно проектируется на эту касательную.

Кривая L называется гладкой, если она является гладкой в каждой своей точке и касательные в точках кривой L изменяются непрерывно.

Достаточные условия гладкости кривой: если на множестве изменения параметра вектор кривой L имеет непрерывную

производную то кривая L является гладкой кривой.

Е. Гладкая кривая L называется регулярной кривой (кривой класса если ее вектор имеет непрерывные производные всех порядков до включительно.

Достаточные условия регулярности кривой: если на множестве изменения параметра вектор кривой L имеет непрерывные производные всех порядков до включительно и то кривая L является регулярной кривой.

Ж. Простая кривая L называется спрямляемой, если множество длин всевозможных ломаных, правильно вписанных в кривую ограничено. Точная верхняя грань этих длин называется длиной кривой

Достаточные условия спрямляемости кривой: простая кривая L спрямляема, если ее вектор авсюду на отрезке имеет непрерывную производную Длина спрямляемой кривой L вычисляется по формуле

3. Параметризация спрямляемой кривой называется натуральной (естественной), если в качестве параметра взята длина ее дуги.

И. Плоскость , проходящая через точку называется пределом при переменной плоскости ям (также проходящей через точку если меньший из углов между этими плоскостями стремится к нулю, когда

Соприкасающейся плоскостью кривой L в точке называется предел, к которому стремится переменная плоскость про ходящая через касательную к кривой L в точке и текущую точку кривой при условии, что

Достаточные условия существования соприкасающейся плоскости: регулярная кривая заданная вектором имеет в точке отвечающей значению параметра, соприкасающуюся плоскость, если в точке векторы неколлинеарны.

Уравнение соприкасающейся плоскости кривой заданной вектором

вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости.

К. Нормалью кривой L в точке называется любая прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной к кривой L в точке

Главной нормалью кривой L в точке называется нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости кривой. L в точке

Бинормалью кривой L в точке называется нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости кривой L в точке

Л. Нормальной плоскостью кривой L в точке называется плоскость, проходящая через главную нормаль и бинормаль кривой L в точке

Спрямляющей плоскостью кривой L в точке называется плоскость, проходящая через касательную и бинормаль кривой L в точке

М. Кривизной регулярной кривой L в точке называется число равное пределу отношения при (здесь — меньший из углов между касательными кривой L в точках и длина дуги

Кривизна регулярной кривой заданной вектором вычисляется по формуле

а в случае натуральной параметризации

Кривизна плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями вычисляется по формуле

Кривизна графика функции вычисляется по формуле

Н. Кручением (второй кривизной) кривой L в точке называется число равное пределу отношения при (здесь — меньший из углов между соприкасающимися плоскостями кривой L в точках длина дуги угол считается положительным, если наблюдатель, помещенный в точку видит вращение переменной соприкасающейся плоскости при против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке).

Кручение регулярной кривой заданной вектором при условии, что векторы неколлинеарны, вычисляется по формуле

а в случае натуральной параметризации

О. Формулы Френе:

(здесь единичный вектор касательной, единичный вектор главной нормали, единичный вектор бинормали).

П. Если функции имеют на отрезке непрерывные производные, то существует единственная с точностью до положения в пространстве кривая класса кривизна и кручение которой в произвольной точке, отвечающей длине дуги равны соответственно. Уравнения

называются натуральными уравнениями кривой.

Р. Порядок соприкосновения в точке гладких кривых с общей касательной по определению не ниже натуральное число), если

(здесь длина отрезка , концы и которого лежат на кривых соответственно и проектируются на касательную в общую точку длина отрезка

Порядок соприкосновения кривых в общей точке по определению равен натуральное число), если выполнено условие и либо

либо отношение не имеет предела при Кривые имеют в общей точке бесконечный порядок соприкосновения, «ели условие выполняется для любого натурального

Достаточные условия соприкосновения кривых: регулярные кривые заданные векторами соответственно, имеют в общей точке отвечающей значению порядок соприкосновения не ниже если

«ели, кроме того,

то порядок соприкосновения кривых равен

С. Соприкасающейся окружностью кривой L называется окружность, порядок соприкосновения которой с кривой L не ниже двух.

Достаточные условия существования соприкасающейся окружности если кривизна кривой L в точке отлична от нуля, то

в этой точке существует соприкасающаяся окружность кривой эта окружность расположена в соприкасающейся плоскости кривой X и ее радиус равен

Центром (радиусом) кривизны кривой L в точке называется центр (радиус) ее соприкасающейся окружности в этой точке.

Т. Эволютой регулярной кривой L называется множество ее центров кривизны.

Уравнение эволюты кривой заданной вектором

где вектор главной нормали кривой L в точке

У. Эвольвентой регулярной кривой L называется кривая, эволютой которой является сама кривая

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)