5°. Движение в поле сил тяготения
Поле сил тяготения имеет вид
где 
постоянная, 
Докажем, что под воздействием сил тяготения точка движется по коническому сечению — эллипсу, гиперболе или параболе.
Уравнение движения для поля (16):
Умножим обе части этого уравнения скалярно на вектор 
Получим
лучим
В силу очевидных равенств
формула (18) преобразуется к следующей:
Так как поле сил тяготения представляет собой центральное силовое поле то согласно пункту 4° движение материальной точки будет происходить в некоторой плоскости. Выберем координатную систему 
так, чтобы это движение происходило в плоскости 
Переходя к полярным координатам
и замечая, что
вычислим координаты вектора 
Имеем
и поэтому
Это позволяет переписать соотношение (19) в следующем виде:
Интегрируя последнее уравнение 
получим
где А — постоянная интегрирования.
В предыдущем пункте, разбирая вопрос о движении точки в центральном поле сил, мы доказали, что
Заметим, что при нашем выборе координатной системы вектор С направлен по оси 
(движение происходит в плоскости 
значит, векторы 
расположены в этой плоскости). Так как
то формулу (21) можно записать так:
где
В полярных координатах это соотношение записывается следующим образом:
Выражая отсюда и подставляя найденное выражение в равенство (20), получим
и далее
Из соотношения (22) находим 
позволяет переписать формулу (23) в следующем виде:
где 
некоторые постоянные
Из последнего соотношения получаем, что
Решение этого дифференциального уравнения можно записать так
произвольная постоянная, а постоянная 
вычисляется по 
известным образом).
Полученная формула представляет собой полярное уравнение конического сечения с фокусом в полюсе.
