3°. Дифференцирование и интегрирование векторных функций

Пусть векторная функция определена на множестве Говорят, что векторная функция имеет производную в точке если существует предел

Обозначения:

Геометрический смысл производной векторной функции ясен из рис. 11.

Рис. 11. Вектор направлен по касательной к годографу векторной функции в точке

Бели то существует касательная к годографу L векторной функции в точке отвечающей значению параметра, и вектор направлен по этой касательной.

Пусть координаты векторной функции Если функция имеет производную в точке то каждая из функций также имеет производную в точке

Верно и обратное: если функции имеют производные в точке то и векторная функция имеет производную в этой точке.

Если каждая из функций имеет производную в точке то функции также имеют производные в этой точке, причем выполняются следующие соотношения:

Производная векторной функции называется второй производной векторной функции Аналогично определяются третья и последующие производные.

Вторая и третья производные обозначаются соответственно через Для производных порядка обычно используются обозначения или

Если координаты векторной функции то

Если у векторной функции существуют и непрерывны все производные до порядка включительно, то пишут

Пусть функция в некоторой окрестности точки 10 и существует производная Тогда для справедлива формула Тейлора:

где вектор имеет более высокий порядок малости, чем т. е.

Формула (3) получается так. Разложим координатные функции вектора по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

Умножая первое соотношение на орт второе — на орт третье — на орт k, складывая и используя формулы (1) и (2), получим разложение (3).

Интеграл Римана для векторной функции определяется как предел интегральных сумм

при любая точка сегмента

Свойства интеграла.