7°. Двойное векторное произведение

Чтобы получить тензорное выражение для координат двойного векторного произведения векторов воспользуемся формулой

При помощи формулы (19) и выражения для скалярного произведения произвольных векторов х и у формулу (20) можно записать в следующем виде:

Заменим в первом слагаемом правой части этой формулы на а во втором слагаемом на Это позволит записать формулу (21) так:

Так как полученное соотношение (22) справедливо для любых векторов то оно представляет собой тождество

относительно координат этих векторов. Поэтому для любых имеет место равенство

Пусть координаты двойного векторного произведения Тогда согласно формулам (20) и (21)

При помощи этого соотношения и равенства (23) получаем тензорное выражение для координат двойного векторного произведения :

При помощи операции ковариантного дифференцирования многие формулы анализа, имеющие широкие применения в геометрии, физике и механике, можно записать в инвариантном относительно преобразования координат виде. Приведем некоторые из этих формул.