3°. Ортонормированные базисы в пространстве En

Из курса линейной алгебры известно, что матрицу метричной билинейной формы можно привести к диагбнальному виду. Обратимся к билинейной форме введенной в пункте 1. При сформулированных там предположениях выражение

дает скалярное произведение векторов х и у, а коэффициенты представляют собой скалярные произведения базисных векторов

Приведем эту билинейную форму к диагональному виду. Тогда в новом базисе

Базис удовлетворяющий условиям (8), называется ортонормированным. В частности, в этом базисе скалярное произведение векторов х и у с координатами будет равно

а квадрат длины вектора х может быть вычислен по формуле

Обратимся к линейным преобразованиям пространства, при которых ортонормированный базис переходит в ортонормированный. Такие преобразования называются ортогональными.

Пусть ортогональное преобразование и - ортонормированный базис. Тогда также ортонормированный базис. Возьмем в пространстве произвольный вектор х и рассмотрим его образ — вектор

Вектор X в базисе имеет такие же координаты, что и вектор х в базисе . В самом деле, если то

Так как ортонормированный базис, то для скалярного произведения векторов и для квадрата длины вектора справедливы формулы (9) и (10).

Пусть Тогда

и

Таким образом, при ортогональных преобразованиях длины векторов не изменяются и сохраняется скалярное произведение: