2°. Преобразование координат в римановом и касательном пространствах

Будем считать, что точка пространства имеет нулевые координаты . Это предположение, не ограничивая общности, позволяет проще записывать формулы.

Рассмотрим касательное пространство в точке риманова пространства Его линейный элемент имеет следующий вид:

(см. формулу (3)).

Координатные линии касательного пространства прямые; они образуют в косоугольную систему координат. При этом некоторая окрестность точки в римановом пространстве взаимно однозначно отображается на некоторую окрестность точки касательного пространства Это отображение строится по следующему правилу: точке пространства ставится в соответствие точка касательного пространства

При переходе в окрестности точки пространства к новым координатам

произойдет и преобразование координат в касательном пространстве При этом между окрестностью точки пространства и окрестностью этой точки в пространстве устанавливается другое взаимно однозначное соответствие (рис. 1).

Выясним, как преобразуются метрические тензоры пространства и касательного пространства

Для тензора имеем

Рис. 1. На рисунке касательное пространство в точке риманова пространства изображено в виде касательной плоскости к поверхности Точке на отвечает точка на

Введем следующее обозначение:

и предположим, что преобразование (6) переводит точку в себя, т. е.

Тогда формула (7) в точке может быть записана так:

или, короче,

Тем самым в касательном пространстве координаты преобразуются по формулам

т. е. в касательном пространстве происходит линейное преобразование координат с матрицей

Матрица этого линейного преобразования невырождена, так как

Правые части преобразований (9) координат пространства представляют собой линейные члены разложений функций

по формуле Тейлора:

Замечание. Преобразование (9) можно рассматривать как простейший вид преобразований координат в пространстве В этом случае преобразование координат в пространстве и соответствующее ему преобразование координат в касательном пространстве совпадают.