§ 4. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

1°. Геодезические как линии постоянного направления. Канонический параметр

Определение. Кривая L в римановом пространстве называется геодезической, если любой вектор касательной к L в какой-либо ее точке при параллельном переносе вдоль L остается вектором касательной к

Пусть геодезическая линия в пространстве заданная параметрическими уравнениями

вектор касательной к L в точке определяемой значением параметра. Перенесем этот вектор параллельно вдоль геодезической L в точку определяемую значением параметра. Получим в точке вектор касательной Так как также вектор касательной к L и все векторы касательной к L в точке коллинеарны, то

причем

Поставим следующий вопрос: нельзя ли выбрать на геодезической L новый параметр так, чтобы вектор касательной в каждой точке кривой L получался параллельным переносом вдоль L вектора

Ответ положительный: такой параметр можно выбрать всегда. Покажем это.

Введем параметр х посредством следующей формулы:

т. е.

Тогда

Воспользовавшись соотношением (1), получаем, что

Так как вектор касательной к геодезической полученный параллельным переносом вдоль L вектора то полученное равенство означает следующее: при таком выборе параметра х на геодезическом L вектор касательной - к L получается параллельным переносом вдоль L какого-то вектора касательной

Определение. Параметр х, для которого векторы касательных - образуют вдоль геодезической поле параллельных векторов (вектор - переносится параллельно вдоль геодезической), называется каноническим параметром.

Замечание. Если канонический параметр, то и В — постоянные) также является каноническим параметром. В самом деле,

Это означает, что вектор - также переносится параллельно вдоль геодезической — он получается из параллельно переносимого вдоль геодезической вектора — умножением на постоянную

Таким образом, если геодезическая существует, то на ней можно выбрать канонический параметр.

Докажем следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 4. Из каждой точки риманова пространства по заданному в этой точке направлению исходит единственная геодезическая линия.

Пусть

— параметрические уравнения искомой геодезической линии, причем параметр является каноническим.

Это означает, что вектор переносится параллельно вдоль искомой геодезической, т. е. удовлетворяет соотношениям

(см. формулы (14) § 3).

Равенства (3) можно записать также в следующей, эквивалентной, форме:

Соотношения (4) представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, заданных в некоторой области пространства

Действительно, рассматривается нами как область арифметического пространства в которой задана метрика При помощи этой метрики в каждой точке области определяются функции представляющие собой, таким образом, функции координат

Определение. Соотношения (4) называются (дифференциальными) уравнениями геодезических.

По условию теоремы нам заданы: точка и направление в этой точке.

Пусть координаты точки а координаты вектора, определяющего направление в точке М:

Из курса дифференциальных уравнений известно, что система (4) при начальных данных (5) имеет в некоторой окрестности точки единственное решение

Тем самым в пространстве определяется единственная кривая, исходящая из точки по заданному в этой точке направлению (более точно, вектор касательной в точке совпадает

с заданным вектором . В каждой точке построенной кривой векторы касательной удовлетворяют соотношениям (3), т. е. переносятся вдоль этой кривой параллельно.

Последнее означает, что кривая геодезичгская. Геометрический смысл канонического параметра.

Покажем, что длина дуги геодезической представляет собой канонический параметр.

В самом деле, если за параметр на геодезической принята длина дуги то длина вектора касательной будет равна единице: квадрат длины этого вектора равен

а так как , то

При параллельном переносе векторов сохраняется их скалярное произведение (8° § 3). В частности, сохраняется скалярный квадрат вектора и, значит, его длина.

Параллельно перенесем вдоль геодезической касательный вектор единичной длины. В результате, согласно определению геодезических и отмеченного выше свойства сохранения длин векторов при параллельном переносе, получим касательный к геодезической вектор единичной длины.

Таким образом, вектор параллельно переносится вдоль геодезической и, значит, длина дуги канонический параметр.

Нетрудно проверить, что если канонический параметр, то любой другой канонический параметр будет связан с соотношением где — постоянные.

Предъявленное линейное преобразование можно интерпретировать как изменение масштабной единицы и сдвига начала отсчета. Поэтому параметр можно рассматривать как длину дуги, измеряемую при помощи новой масштабной единицы.