§ 3. КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО

1°. Касательный вектор

В основу построения касательного вектора в точках гладкого многообразия можно положить известную связь между вектором, заданным в точке координатного пространства и операцией вычисления производной по направлению от заданной в этом пространстве функции.

Пусть вектор координатного пространства заданный в точке Тогда для любой гладкой функции заданной в окрестности точки определена производная по направлению, задаваемому вектором (рис. 25):

или в координатах

Будем называть ее производной гладкой функции по вектору в точке и обозначать через

Рис. 25. Вектор задает направление в каждой точке

Таким образом, по заданному вектору на множестве гладких функций в окрестности точки определена операция

проводимая по указанному выше правилу

Эта операция обладает следующими свойствами:

(здесь произвольные функции из множества а — число).

Замечание. Интересно отметить следующий факт (позже мы докажем это).

Пусть некоторое отображение, подчиненное требованиям:

Тогда существует, и притом ровно один, вектор такой, что

для любой функции из множества

Такое взаимно однозначное соответствие между векторами из и отображениями со свойствами позволяет как бы отождествить вектор и операцию вычисления производной гладкой функции по этому вектору.

Одновременно сделанное наблюдение открывает возможность введения касательного вектора в точке гладкого многообразия.

Определение. Касательным вектором в точке многообразия называется правило

которое каждой функции из множества ставит в соответствие число и обладает следующими свойствами:

(здесь

Пусть касательный вектор, произвольное число. Покажем, что

Из соотношений

получаем, что

Отсюда