5°. Натуральные уравнения кривой

Кривизна и кручение описывают кривую в определенном смысле единственным образом.

ТЕОРЕМА 8. Пусть функции имеют на сегменте непрерывные производные. Тогда существует единственная с точностью до положения в пространстве -регулярная кривая, кривизна и кручение которой в точке, отвечающей длине дуги равны соответственно

Будем рассматривать формулы Френе

как систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций

В качестве начальных данных для системы (7) выберем единичные попарно ортогональные векторы образующие правую тройку:

При сформулированных условиях согласно теореме существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений существует единственное решение системы (7) класса на сегменте удовлетворяющее начальным условиям

Рис. 24. Проекция кривой на спрямляющую плоскость близка к кубической параболе

Рис. 25. Винтовая линия

Докажем, что для любого векторы являются единичными, попарно ортогональными и образуют правую тройку.

Составим систему шести линейных дифференциальных уравнений относительно шести неизвестных скалярных функций следующим образом.

Умножим первое из уравнений (7) на вектор Получим или Это и есть первое из интересующих нас уравнений. Аналогично строятся уравнения

Чтобы построить четвертое уравнение, умножим первое из уравнений (7) скалярно на вектор второе — на вектор и сложим полученные результаты:

Аналогично строятся оставшиеся два уравнения

Полученная система шести уравнений является следствием системы (7). Поэтому набор функций

является ее решением и, кроме того, удовлетворяет условиям (11). Этой же системе и начальным условиям (11) удовлетворяет набор

Вследствие того что начальные условия однозначно определяют решение системы, получаем

Это означает, что векторы единичные и попарно ортогональные. Поэтому их смешанное произведение равно

Поскольку это произведение непрерывно и равно при то оно равно при любом Тем самым векторы образуют правую тройку.

Рассмотрим кривую L с радиус-вектором

Так как то длина дуги кривой

Найдем кривизну и кручение этой кривой. Используя первое из соотношений (7), по формуле (1) для кривизны имеем

Кручение вычислим по форглуле (3), используя соотношения (7) и только что полученную формулу

Итак, кривизна и кручение кривой L в точке, отвечающей ее длине дуги равны соответственно

Докажем теперь, что если кривизна и кручение некоторой другой кривой L равны то она отличается от кривой L только положением в пространстве.

Переместим кривую L в пространстве так, чтобы ее векторы при совпали с векторами кривой Убедимся, что перемещенная кривая L и кривая L совпадают.

Векторы кривой L являются решениями системы (7) (для кривой L это формулы Френе) с начальными данными По теореме единственности имеем

Поэтому а так как то

Замечание 1. Функции могут быть заданы и на другом множестве, например на полупрямой или на прямой

Замечание 2. Систему соотношений

называют натуральными уравнениями кривой. Согласно доказанной теореме кривая определяется натуральными уравнениями однозначно с точностью до положения в пространстве.

Пример. Найти кривизну и кручение винтовой линии

Так как

т. е. кривизна и кручение у винтовой линии постоянны.

Этим свойством обладают только винтовые линии.