5°. Внутренняя геометрия поверхности. Изометричные поверхности

Мы убедились, что, зная первую квадратичную форму поверхности, можно вычислять длины кривых на поверхности, углы между кривыми и площади областей на поверхности. В самом деле, в формулы (4) для длины дуги, (6) для косинуса угла между кривыми и (8) для площади области на поверхности входят лишь коэффициенты первой квадратичной формы. Поэтому если известна первая квадратичная форма поверхности, можно исследовать геометрию на поверхности, не обращаясь к ее уравнениям, а лишь используя ее первую квадратичную форму.

Совокупность геометрических фактов, относящихся к поверхности, которые можно получить при помощи ее первой квадратичной формы, составляет так называемую внутреннюю геометрию поверхности.

Поверхности, имеющие одинаковые первые квадратичные формы и потому имеющие одинаковую внутреннюю геометрию, называются изометричными.

Пример. Пусть поверхность задана параметрическими уравнениями (рис. 22)

Это цилиндрическая поверхность с синусоидой в качестве направляющей. Вычислим векторы Имеем

поэтому

Следовательно,

Рис. 22. Пример поверхности, изометричной плоскости Введем новые параметры по формулам

Тогда первая квадратичная форма поверхности примет вид

Мы видим, что в новых переменных первая квадратичная форма рассматриваемой цилиндрической поверхности совпадает с первой квадратичной формой плоскости и поэтому внутренняя геометрия этой поверхности совпадает с внутренней геометрией плоскости

Геометрически это свойство понятно: синусоидальный цилиндр получается изгибанием (деформацией без сжатий и растяжений) обычной плоскости. При такой деформации внутренняя геометрия не изменяется.

Вообще если поверхность получается из поверхности путем изгибания, то внутренние геометрии этих поверхностей совпадают.