§ 4. ПСЕВДОЕВКЛМДОВО И ПСЕВДОРИМАНОВО ПРОСТРАНСТВА

Псевдоевклидово и псевдориманово пространства широко используются в специальной теории относительности (СТО) и в общей теории относительности (ОТО). Мы введем понятия этих пространств и обсудим их простейшие свойства, коснувшись проблем СТО и ОТО лишь в малой степени. Этим проблемам посвящена обширная литература, к которой мы будем отсылать читателя по мере развития изложения.

1°. Понятия псевдоевклидова пространства и метрического тензора псевдоевклидова пространства

Пусть -мерное линейное пространство. Пусть невырожденная симметричная билинейная форма, полярная знакопеременной квадратичной форме. Значение билинейной формы на векторах х и у будем называть скалярным произведением векторов х и у и обозначать через Конечно, наименование «скалярное произведение» условно: в данном случае не выполняется четвертая аксиома обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. В зависимости от выбора вектора х выражение

может принимать как положительное, так и отрицательное и даже нулевое значения. Это связано с тем, что квадратичная форма в рассматриваемом случае не является знакоположительной. Тем не менее термин «скалярное произведение» является общепринятым и мы будем им пользоваться.

Введем понятие псевдоевклидова пространства.

Псевдоевклидовым пространством называется -мерное линейное пространство V, в котором скалярное произведение векторов х и у задано посредством невырожденной симметричной билинейной формы полярной знакопеременной квадратичной форме:

Число называется размерностью псевдоевклидова пространства.

Пусть базис пространства матрица формы в этом базисе

Если контравариантные координаты векторов х и у, то

Величины представляют собой координаты тензора типа Этот тензор будем называть ковариантным метрическим тензором псевдоевклидова пространства.

Известно, что матрицу симметричной билинейной формы путем выбора некоторого нового базиса можно привести к диагональному виду. В силу невырожденности формы и знакопеременности формы этот базис можно выбрать так, что координаты метрического тензора в этом базисе будут равны нулю при и единице или минус единице при Число положительных и число отрицательных диагональных элементов не зависит от способа приведения матрицы билинейной формы к диагональному виду, и в силу ее невырожденности

Проведенные рассуждения объясняют обозначение принятое для -мерного псевдоевклидова пространства.

Перейдем к обсуждению вопроса об измерении длин векторов в псевдоевклидовом пространстве.

Определим квадрат длины, вектора х с координатами в пространстве с метрическим тензором при помощи соотношения

Согласно формуле (1) имеем

Так как квадратичная форма является знакопеременной, то можно указать ненулевые векторы с положительным квадратом, длины, с отрицательным квадратом длины и с нулевым квадратом длины. Чтобы в качестве меры длины векторов получать лишь вещественные числа, за длину вектора принимают следующую величину: