§ 6. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ

В приложениях часто возникают задачи, в которых более удобными оказываются не рассматриваемые до сих пор прямолинейные координатные системы, а криволинейные. Для того чтобы в таких задачах можно было эффективно пользоваться разрабатываемым здесь тензорным аппаратом, необходимо вновь обобщить само понятие тензора с сохранением возможно большего числа установленных свойств (лучше — всех!).

Предварительно целесообразно расширить класс допустимых координатных систем.

1°. Криволинейные координаты в точечном пространстве

Предположим, что в -мерном точечном пространстве введена аффинная (прямолинейная) координатная система и — аффинные координаты. Пусть X — некоторая (открытая) область в этом пространстве.

Будем говорить, что функция

заданная в области X, является в области -гладкой (принадлежит классу если она имеет в этой области непрерывные частные производные до порядка включительно

Если функция имеет в области X непрерывные частные производные всех порядков, то она называется бесконечно дифференцируемой (принадлежащей классу Рассмотрим набор гладких функций

задающих взаимно однозначное отображение области X на некоторую область У изменения переменных у и (рис. 4).

Рис. 4. Криволинейные координатные системы

Потребуем (достаточно считать, что функции принадлежат в области X классу чтобы определитель матрицы

составленной из частных производных функций был отличен от нуля. Этот определитель, называется якобианом отображения, заданного функциями (1).

Определение. Будем говорить, что в области X введена криволинейная координатная система, если задан набор гладких функций (1), обладающий указанными выше свойствами гладкости, взаимной однозначности и невырожденности (необращения в нуль якобиана).

Обозначение:

Переменные называются криволинейными координатами.

Аффинные координаты часто называют прямолинейными координатами.

Пример. Рассмотрим в положительном октанте

набор функций

Легко убедиться в том, что они гладкие, задают взаимно однозначное отображение положительного октанта X на «четверть» слоя

и

Построенные криволинейные координаты называются цилиндр рическими координатами (рис. 5).

Рис. 5. Цилиндрические координаты

Важное замечание. Из того, что якобиан отображения, задаваемого функциями (1), отличен от нуля во всех точках области X, вытекает, что отображение

обратное к заданному, является гладким в соответствующей области У изменения переменных

Продифференцируем тождества

по Согласно правилу дифференцирования сложной функции получаем

Так как

то

Полученные равенства можно переписать в матричном виде

где единичная матрица.

Тем самым

и, значит,

Таким образом, переход (2) от криволинейной системы координат к исходной прямолинейной удовлетворяет тем же условиям гладкости, взаимной однозначности и невырожденности (якобиан не равен нулю), что и переход (1) от прямолинейных координат к криволинейным

Пусть другая криволинейная координатная система в области X и

Соответствующую область изменения переменных обозначим через

Посредством формул (1) и (3) каждой точке из области X поставлены в соответствие два набора ее криволинейных координат

Тем самым между областями устанавливается соответствие. Это соответствие является взаимно однозначным. Функции

гладко зависят от переменных

Покажем, что определитель матрицы

отличен от нуля.

Согласно правилу дифференцирования сложной функции из соотношений (4) получаем

Запишем эти соотношений в матричном виде. Имеем

Так как

то отсюда следует, что

Таким образом, переход (в области X) от одной криволинейной системы координат к другой удовлетворяет тем же условиям гладкости, взаимной однозначности и невырожденности (необращения в нуль якобиана), что и переход от прямолинейных координат к криволинейным

Укажем достаточное условие того, чтобы система гладких функций

задавала криволинейную координатную систему.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Пусть

всюду в области Тогда у каждой точки из области X существует открытая окрестность, в которой набор функций (5) задает (локальную) криволинейную координатную систему.

Этот факт, известный как теорема о неявной функции, доказывается в курсе математического анализа.

Пользуясь формулами (2), заменим координаты в разложении

радиус-вектора точки . В результате получим формулу, выражающую радиус-вектор произвольной точки из области X через ее координаты

или, короче,

Продифференцируем равенство (6) по переменной

Совокупность векторов

линейно независима. Это следует из того, что определитель матрицы, составленной из координат этих векторов в базисе

отличен от нуля.