§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ

1°. Определение алгебраических операций над тензорами

Введем несколько операций над тензорамй. Доказательство того, что в результате каждой из этих операций получается тензор, будет дано в 3°.

1+. Линейная комбинация тензоров. Пусть

— тензоры типа произвольные числа. Тогда линейная комбинация

с компонентами

также есть тензор типа

2+. Умножение тензоров. Пусть

— тензор типа и

— тензор типа Положим

Тогда

— тензор типа называемый произведением тензора на тензор

Обозначение:

Отметим, что в общем случае

3+. Транспонирование тензора. Пусть

— тензор типа где .

А. Рассмотрим перестановку чисел вида

переставляет местами только числа

Положим

Тогда тензор типа

Будем говорить, что тензор получен транспонированием тензора по двум нижним индексам

Здесь заданный упорядоченный набор чисел заменяется другим упорядоченным набором, составленным из тех же чисел. При этом переупорядочение заданного числового набора проводится по единой схеме для каждого базиса пространства.

Б. Операцию транспонирования можно определить для любого числа нижних индексов.

Рассмотрим перестановку

На наборе перестановка а действует по правилу

или, что то

Будем говорить, что тензор с компонентами

получен из тензора транспонированием по нижним индексам при помощи перестановки а.

В. Операция транспонирования тензора по верхним индексам определяется аналогично.

Г. Операция транспонирования тензора при помощи перестановки индексов разных типов (верхних и нижних) не определена

4+. Свертывание тензора. Пусть

— тензор типа где Положим

Тогда

— тензор типа называемый сверткой тензора по верхнему и нижнему индексам.

5+. Симметрирование и альтернирование.

А. Определение. Тензор называется симметричным (по нижним индексам), если каждый тензор, получаемый из него транспонированием по любым двум нижним индексам, совпадает с ним.

Примером симметричного тензора типа может служить симметричная билинейная форма.

Пусть

— тензор типа Положим

(суммирование ведется по всевозможным перестановкам индексов

Тогда

— тензор типа симметричный по нижним индексам.

Определение. Операция построения симметричного тензора называется симметрированием тензора по нижним индексам.

Б. Определение. Тензор называется кососимметричным (по нижним индексам), если каждый тензор, получаемый из него транспонированием по любым двум нижним индексам, противоположен ему.

Пусть

— тензор типа Положим

(суммирование ведется по всевозможным перестановкам индексов

Тогда

— тензор типа кососимметричный по нижним индексам.

Определение. Операция построения кососимметричного тензора А называется альтернированием тензора по нижним индексам.

В. Симметрирование и альтернирование тензора по верхним индексам определяется аналогично.

Г. Симметрирование и альтернирование тензора можно проводить и по части индексов.