4°. Индикатриса Дюпена

Зафиксируем на регулярной поверхности заданной радиус-вектором произвольную точку Пусть нормальная кривизна поверхности в этой точке в некотором направлении 1.

Построим в точке касательную плоскость поверхности и отложим в этой плоскости от точки X в направлении I отрезок длины

Множество концов этих отрезков называется индикатрисой Дюпена поверхности в точке

Выясним, что представляет собой индикатриса Дюпена.

Введем на касательной плоскости прямолинейные координаты, приняв точку X за начало координат, а векторы за базисные векторы координатных осей соответственно.

Пусть координаты одной из точек индикатрисы Дюпена, отвечающей некоторому направлению Тогда

Ясно, что

Поэтому из формулы (16) для нормальной кривизны вытекает, что

Возводя обе части равенства (17) в квадрат, получим, что

Из сравнения последних двух соотношений заключаем, что

Таким образом, индикатриса Дюпена представляет собой: эллипс — в эллиптической точке пару сопряженных гипербол — в гиперболической точке ,

пару параллельных прямых — в параболической точке (рис. 35).

Рис. 35. Индикатриса Дюпена в эллиптической (а), гиперболической (б) и параболической (в) точках