5°. Главные кривизны
Как видно из формулы (16), нормальная кривизна поверхности в данной точке зависит от выбора направления на поверхности.
Направление на поверхности называется главным, если нормальная кривизна в этом направлении достигает экстремального значения.
Покажем, что в каждой точке 
-регулярной поверхности найдется не менее двух различных главных направлений.
Пусть 
произвольное направление в точке X на поверхности 
Тогда
— дифференцируемая функция переменных 
Отметим, что функции 
определяются только выбором точки X и от переменных 
не зависят.
Полагая
получим, что
Так как функция 
непрерывна и 
то на отрезке 
она либо постоянна, либо имеет хотя бы один максимум и хотя бы один минимум. Это и означает, что в каждой точке 
-регулярной поверхности есть два различных главных направления.
Экстремальные значения нормальных кривизн в главных направлениях называются главными кривизнами поверхности в данной точке (рис. 36).
Рис. 36. Указаны главные направления в точке X
Укажем способ вычисления главных направлений и главных, кривизн в данной точке регулярной поверхности.
Из формулы (18) для 
вытекает тождество относительно переменных 
Продифференцируем это тождество по 
Учитывая, что производная нормальной кривизны в главном направлении обращается в нуль, получим для главного направления 
Дифференцируя тождество (19) по 
и рассуждая 
аналогично, получаем
Здесь 
главная кривизна в направлении 
Будем рассматривать полученные соотношения (20) — (21) как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных 
Эта система имеет ненулевые решения, так как в данной точке регулярной поверхности всегда есть главные направления.
Из этого вытекает, что
Вычисляя определитель, получим квадратное уравнение для искомой функции 
Проведенные выше рассуждения позволяют утверждать, что уравнение (22) имеет вещественные корни 
которые и являются главными кривизнами. Эти корни либо различны, 
либо совпадают, 
Рассмотрим оба случая.
1+. Уравнение (22) имеет два различных корня 
Этим корням отвечают на поверхности два различных главных направления 
, определяемых из систем
Покажем, что если направления координатных линий на поверхности в некоторой точке совпадают с главными направлениями, то в этой точке коэффициенты 
обращаются в нуль.
Пусть направления координатных линий 
главные. Тогда из системы (23) вытекает, что
Из второго и третьего равенств вследствие того, что 
заключаем:
Заметим, что в рассматриваемом случае кривизны 
можно найти из следующих формул:
2+. Уравнение (22) имеет совпадающие корни: 
Покажем, что в этом случае каждое направление на поверхности в данной точке является главным.
Так как в точке регулярной поверхности всегда есть два различных главных направления, то система 
должна иметь два линейно независимых решения. Это возможно лишь при выполнении равенств
Отсюда вытекает, что
и, следовательно,
(см. формулу (18)).
Тем самым нормальная кривизна поверхности в данной точке постоянна (не зависит от направления) и, значит, каждое направление является главным.
Точками на поверхности, для которых каждое направление является главным, могут быть либо точки уплощения 
нормальная кривизна поверхности в каждом направлении в такой точке равна нулю), либо эллиптические точки 
называемые в данном случае точками округления или омбилическими точками.
Пример. Все точки плоскости являются точками уплощения, все точки сферы являются точками округления.
Из соотношения 
видно, что если координатные линии на поверхности в данной точке ортогональны 
то и 
Подведем некоторые итоги.
В каждой точке регулярной поверхности имеются взаимно ортогональные главные направления.
Если направления координатных линий на поверхности совпадают с главными направлениями, то
Верно и обратное: если 
то, как следует из формулы (18), координатные линии и и 
имеют главные направления.
