2°. Опускание и поднятие индексов
В случае, когда в пространстве задана метрика, появляется возможность переводить ковариантные индексы в контравариантные и наоборот. Тем самым принципиальное различие между ними как бы исчезает.
Пусть 
метрика пространства 
Рассмотрим тензор
типа где 
Тензор типа 
можно построить по следующему правилу:
т. е. сверткой произведения метрического тензора 
и исходного тензора 
Правило (3) называется опусканием верхнего индекса 
Аналогично вводится правило поднятия нижнего индекса 
УТВЕРЖДЕНИЕ. Если опустить индекс, а затем поднять его, то получится исходный тензор.
Поднимая у тензора, стоящего в левой части формулы (1), индекс 
получаем
Ясно, что опустить (поднять) можно любой верхний (нижний) индекс.
Примеры.
(1). Пусть 
- обычное скалярное произведение. Компоненты тензора 
типа можно использовать как (контравариантные) координаты вектора
Рис. 1. Ковариантные и контравариантные координаты вектора
Опуская индекс, получаем
Таким образом, опускание индекса у координаты 
вектора х приводит к скалярной проекции этого вектора на вектор базиса. Это ковариантная координата вектора х (рис. 1).
Заметим, что
(2) Тензор 
типа 
можно рассматривать как линейный оператор в пространстве 
Если задана метрика 
то верхний индекс можно опустить:
Тем самым получается тензор типа определяющий билинейную форму
Обратно: поднятием индекса у тензора типа можно построить линейный оператор.
Мы уже отмечали, что место индексов (вверху или внизу) и порядок их расположения при задании тензора существенны. Поэтому при проведении операции опускания (или поднятия) индекса возникает естественный вопрос: на какое место следует поставить опускаемый индекс? Обычно поступают так: места индексов, верхних и нижних, нумеруются в совокупности.
Рассмотрим, например, тензор типа 
и занумеруем его индексы следующим образом: 1-й индекс — ковариантный, 2-й и 3-й — контравариантные, 4-й — ковариантный. Это можно записать так:
Таким образом, если 2-й индекс стоит вверху, то 2-е место снизу остается пустым. Тогда, поднимая или опуская индекс, мы ставим его на заготовленное свободное место. Опуская, например, 3-й индекс, получаем
