6°. Движение заряженной частицы в электромагнитном поле

Рассмотрим движение заряженной частицы массы с зарядом в пространстве под воздействием электрического поля и магнитного поля

На точку действуют следующие силы: электрическая сила, — сила, действующая на точку по закону Лоренца (с — скорость света).

Поэтому векторное уравнение движения имеет вид

Умножим обе части равенства (24) скалярно на вектор и получим

Так как скорость частицы) и то найденное соотношение примет вид

Отсюда следует, что если электрическое поле равно нулю, то скалярная скорость частицы постоянна. В этом случае время можно заменить параметром, пропорциональным длине дуги траектории. Действительно, и если то т. е.

Проанализируем теперь случай, когда и магнитное поле создается единственным магнитным полюсом. Эту ситуацию можно представить себе так. Пусть имеется магнит со слабой напряженностью магнитного поля. Тогда вблизи одного из

полюсов магнита магнитное поле фактически будет создаваться этим близким магнитным полюсом.

Расположим начало координат в этом полюсе. Тогда

где постоянная,

Предложенное выражение для магнитной напряженности естественно: в рассматриваемом случае поле будет центральным и его структура будет такой же, как и структура поля тяготения из пункта 5°.

Векторное уравнение движения имеет вид

Так как

то векторное уравнение движения можно записать в следующей форме:

где

Умножим обе части соотношения (25) векторно на привлекая формулу для двойного векторного произведения, получим

Отсюда после интегрирования приходим к соотношению

где а — постоянный вектор.

Умножая обе части последнего равенства скалярно на вектор получим

В этом соотношении радиус-вектор движущейся точки, длина вектора так что где единичный вектор, сонаправленный вектору Заменяя в формуле (26) вектор на и сокращая затем на получим

Так как — постоянный вектор, единичный, то последнее равенство можно переписать в следующем виде:

где угол между векторами

Заметим, что угол постоянный. Следовательно, постоянным будет и угол между векторами а и Это означает, что траектория движущейся точки расположена на круговом конусе с осью а и углом раствора

Задача. Доказать, что траектория точки является геодезической линией конуса — кривой, которая при развертывании конуса на плоскость разворачивается в прямую.