2°. Операции опускания и поднятия индексов

Пусть А — тензор типа с координатами Покажем, например, как проводится операция поднятия индекса при помощи метрического тензора Воспользуемся его контравариантными координатами Свернем произведение тензоров по индексу у тензора и по нижнему индексу у тензора

А, т. е. построим тензор с координатами Заменяя

индекс на , обозначим полученные координаты через Таким образом,

Полученное соотношение наглядно показывает, что у тензора А при помощи тензора действительно поднимается индекс. Операцию поднятия индекса можно проводить несколько раз, привлекая для этого различные нижние индексы заданного тензора.

Операция опускания индекса при помощи метрического тензора определяется аналогично. Опуская, например, верхний индекс получаем

Пример 1. Мы ввели тензор при помощи матрицы обратной матрице ковариантного метрического тензора. Это означает, что

где символ Кронекера.

Попробуем опустить у тензора оба индекса при помощи ковариантного метрического тензора . В результате получим дважды ковариантный тензор

Преобразуем последнее выражение, используя равенство (6) и свойства символа Кронекера:

Таким образом, тензор получается из тензора путем опускания обоих верхних индексов при помощи ковариантного метрического тензора.

Точно так же и тензор можно получить из тензора путем поднятия обоих нижних индексов при помощи контравариантного метрического тензора.

Это и позволяет рассматривать величины как ковариантные и контравариантные координаты одного и того же тензора — метрического тензора

Пример 2. Ковариантные и контравариантные координаты векторов. Скалярное произведение векторов в координатах.

Пусть ковариантные координаты вектора х. Тогда контравариантные координаты вектора х.

При помощи ковариантных и контравариантных координат векторов можно специальным образом записать выражения для скалярного произведения векторов. Пусть координаты векторов х и у, соответственно ковариантные и контравариантные.

Пусть базис в пространстве относительно которого и берутся координаты рассматриваемых векторов. Имеем

Используя свойства скалярного произведения и соотношение получим

Тем самым

Формула (7) является первой из формул векторной алгебры, записанная при помощи тензорных обозначений.