4°. Псевдориманово пространство. Метрический тензор псевдориманова пространства

В § 1 главы 4 мы уже говорили о понятии псевдориманова пространства. Напомним приведенные там рассуждения.

Пусть открытое множество пространства На этом множестве задается поле симметричного тензора При этом выполняются условия: квадратичная дифференциальная форма

в каждой точке множества

1) невырождена;

2) имеет постоянную сигнатуру, т. е. нормальный вид квадратичной формы (20) не зависит от выбора точки из множества

При помощи формы (20) введем на множестве метрику, положив

Выражение (21) для называют линейным элементом, а тензор метрическим тензором.

Если форма (21) является положительно определенной, то говорят, что на множестве введена риманова метрика; множество в этом случае называется римановым пространством. Если же форма (21) является знакопеременной, то говорят, Что

на множестве введена псевдориманова метрика и множества в этом случае называют псевдоримановым пространством.

Римановы пространства рассматривались в главе 4. Там был построен аппарат для их изучения, были введены важные объекты и понятия. В этом пункте мы укажем, каким образом можно исследовать псевдоримановы пространства.

Исследование псевдоримановых пространств важно, в частно потому, что они широко используются в общей теории относительности. Мы будем вести изложение по аналогии с построением теории римановых пространств.

1. Касательное пространство. Разложим каждую компоненту метрического тензора по формуле Тейлора в окрестности точки (здесь псевдориманово пространство: индекс указывает его размерность, индексы соответственно число положительных квадратов и число отрицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы Имеем

где

Псевдоевклидово пространство с линейным элементом

называется касательным псевдоевклидовым пространством в точке псевдориманова пространства

Формулы (21) — (23) позволяют записать линейный элемент пространства в следующем виде:

Из формулы (24) видно, что метрика псевдориманова пространства в окрестности точки и метрика касательного псевдоевклидова пространства в окрестности этой же точки разнятся на малые первого порядка относительно

Замечание. То, что линейный элемент (23) представляет собой метрику псевдоевклидова пространства непосредственно вытекает из определения псевдрориманова пространства.

2. Преобразование координат в псевдоримановом и касательном псевдоевклидовом пространствах. Пусть точка имеет нулевые координаты. Тогда линейный элемент касательного пространства имеет следующий вид:

Некоторая окрестность точки псевдориманова пространства отображается взаимно однозначно на некоторую окрестность этой же точки касательного псевдоевклидова пространства по правилу: точке ставится в соответствие точка касательного пространства с координатами

Перейдем к новым координатам

При этом преобразование координат произойдет и в касательном пространстве. Отметим, что в результате между окрестностью точки в пространстве и окрестностью этой же точки в пространстве устанавливается другое взаимно однозначное соответствие.

Как преобразуются метрические тензоры пространств Имеем

Положим

Считая, что преобразование (26) переводит точку в себя, т. е. что

формулу (27) можно записать в следующем виде:

или, короче,

При преобразовании координат (26) в касательном пространстве Епрл происходит линейное преобразование координат с матрицей

Матрица не вырождена, так как

Правые части формул (29) — преобразований координат касательного пространства представляют собой линейные члены в разложениях функций

по формуле Тейлора:

3. Локально нормальные координаты в псевдоримановом пространстве

Определение. Координаты в псевдоримановом пространстве называются нормальными в точке , или локально нормальными, если

и

Справедливо следующее утверждение:

В окрестности каждой точки псевдориманова пространства можно ввести координаты, нормальные в этой точке.

Доказательство сформулированного утверждения проводится в полной аналогии с доказательством теоремы о возможности введения в окрестности каждой точки риманова пространства координат, нормальных в этой точке (см. пункт 3° § 2 главы 4). Остановимся поэтому только на оснозных этапах доказательства.

Сначала обосновывается, что невырожденным линейным преобразованием координат вида (29) можно добиться того, что в точке будут выполняться соотношения (30). Далее указывается такое преобразование координат, при котором сохраняются соотношения (30) и обеспечивается выполнение условий (31).

Отметим, что при завершении доказательства нужно воспользоваться формулами главы 3, приспособив их для рассматриваемого здесь случая.

Детали рассуждений оставляем читателю.

4. О тензоре кривизны (тензоре Римана-Кристоффеля) для псевдориманова пространства

Как было установлено выше, в окрестности данной точки псевдориманова пространства можно выбрать локально нормальные координаты так, что разложение метрического тензора по формуле Тейлора с центром в точке имеет вид

где

Напомним, что в случае риманова пространства было получено похожее выражение для компонент метрического тензора

и, главное, детально выяснена структура слагаемых

Опуская подробности рассуждений (они вполне аналогичны тем, что былд проведены в § 2 главы 4), запишем окончательные выражения для компонент метрического тензора пространства в некоторой системе координат, нормальной в данной точке

(здесь координаты тензора Римана-Кристоффеля для данной точки и в указанной системе координат

5. Параллельный перенос векторов в псевдоевклидовом пространстве

Пусть -криволинейные координаты в псевдоевклидовом пространстве Обозначим через х радиус-вектор точки с началом О. Векторы

образуют базис пространства в точке

Пусть постоянный вектор переносится в пространстве параллельно (параллельный перенос в линейном пространстве снабженном вполне определенной метрикой, определяется обычно) по кривой

в каждой точке кривой (34) есть базис

Поэтому координаты (постоянного) вектора будут меняться. В каждой точке кривой имеем

Разлагая вектор по базису

с учетом формул (35) получим

Используя эти соотношения и одну из формул (35), найдем

Отсюда в силу линейной независимости векторов имеем

Величины входящие в формулу (36), уже знакомы нам. Это символы Кристоффеля 2-го рода (см. формулу (1) § 8 главы 3). Их называют также коэффициентами связности — связывают координаты вектора в точке с координатами этого вектора в близкой точке

Соотношения (36) представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, неизвестными в которых являются координаты вектора параллельно переносимого вдоль кривой (34). Интегрируя эту систему, получим координаты вектора в произвольной точке кривой (34) в базисе

Соотношения (36) называются уравнениями параллельного переноса вектора.

6. Векторы в псевдоримановом пространстве

Векторы в псевдоримановом пространстве вводятся в полной аналогии с введением векторов в римановом пространстве.

Пусть псевдориманово пространство с метрическим тензором некоторая его точка, касательное псевдоевклидово пространство в точке с метрическим тензором

Пусть базис в пространстве связанный с координатами Тогда по заданным в точке числам определяется вектор

в пространстве Вектор мы будем называть вектором в псевдоримановом пространстве в данной точке

Перейдем в пространстве к новым координатам

Тогда базисные векторы пространства преобразуются по формулам

где . Ясно, что

где

Сравнивая выражения

и

получим формулы преобразования координат и вектора

Аналогично получаются и формулы

При помощи формул (39), (40) можно дать такое определение вектора в псевдоримановом пространстве:

вектором в точке псевдориманова пространства называется упорядоченный набор чисел координат вектора преобразующийся при переходе от координатной системы к координатной системе по формулам (39), (40) в которых

7. Параллельный перенос векторов в псевдоримановом пространстве

Пусть точки пространства соединены кривой :

Пусть вектор в точке пространства

Уравнения

называются уравнениями параллельного переноса вектора в псевдоримановом пространстве

Система (42) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых неизвестными являются координаты вектора параллельно переносимого вдоль

кривой (41), а символы Кристоффеля вычисляются в точках этой кривой.

8. Параллельный перенос тензоров

Дословно повторяя рассуждения пункта 4° § 3 главы 4, можно получить уравнения параллельного переноса тензоров в псевдоримановом пространстве.

Будем говорить, что тензор переносится параллельно вдоль кривой L пространства если в каждой точке кривой L его компоненты сохраняют постоянные значения относительно параллельно переносимого вдоль этой кривой базиса.

Запишем общую формулу параллельного переноса тензора

9. Абсолютный дифференциал и абсолютная производная Абсолютным (ковариантным) дифференциалом тензора называется главная линейная часть приращения тензора параллельно перенесенного в точку и тензора взятого в этой точке.

Например, для тензора типа формула для абсолютно дифференциала имеет следующий вид:

Мы не выписываем формулу для общего случая, отсылая читателя к пункту 5° § 3 главы 4. Там же читатель найдет формулы для вычисления абсолютной (ковариантной) производной тензора.

Отметим в заключение, что абсолютный дифференциал метрического тензора псевдориманова пространства равен нулю. Тем самым метрический тензор пространства образует в нем поле параллельных тензоров.

10. Геодезические линии в псевдоримановом пространстве Геодезические линии в римановом пространстве были введены нами двумя способами — как линии постоянного направления и как экстремали функционала длины (кривые минимальной длины, соединяющие две заданные точки).

В случае псевдориманова пространства ввести геодезические как экстремали не представляется возможным. Для пояснения обратимся к частному случаю — псевдоевклидовой плоскости Линейный элемент плоскости задается формулой

Обратимся к координатной плоскости считая, что на ней введена метрика (43). Тогда отрезки прямых, параллельных

биссектрисам координатных углов, имеют нулевую длину и поэтому любые две точки этой плоскости можно соединить ломаной нулевой длины. Этот пример показывает, что вариационный подход к проблеме геодезических в случае псевдориманова пространства неосуществим (рис. 13).

Рис. 13. Псевдоевклидова плоскость с метрикой Через каждую точку проходят две прямые, параллельные биссектрисам координатных углов. Расстояние между любыми точками на каждой из этих прямых равно нулю. Произвольно взятые точки можно соединить ломаной длина которой равна нулю, — звенья этой ломаной параллельны биссектрисам координатных углов и имеют длины, равные нулю

Однако первый путь — введение геодезических как линий постоянного направления — дает нужный результат. При этом уравнения геодезических будут такими же, как и в случае римановз пространства.

Кривая L в псевдоримановом пространстве называется геодезической линией, если любой вектор касательной к кривой L в какой-либо ее точке при параллельном переносе вдоль L остается вектором касательной этой кривой. Тем самым геодезическая линия — это линия постоянного направления.

Пусть геодезическая в пространстве заданная параметрическими уравнениями

вектор касательной к кривой L в точке Перенесем этот вектор параллельно вдоль кривой L в точку отвечающую значению параметра из промежутка и получим в точке вектор касательной Так как также вектор касательной к L в точке и все векторы касательной к кривой L в точке М коллинеарны, то

Возникает естественный вопрос: нельзя ли выбрать на геодезической L новый параметр так, чтобы вектор в каждой ее точке получался параллельным переносом вектора

Покажем, что это возможно.

Параметр введем при помощи соотношения

т. е.

Отсюда и из формулы (44) получаем, что

Но - вектор касательной к геодезической полученный параллельным переносом вдоль нее вектора Поэтому последнее равенство означает, что вектор касательной получается параллельным переносом вдоль геодезической L какого-то вектора касательной

Параметр для которого векторы касательных - образуют вдоль геодезической поле параллельных векторов, называется каноническим. Ясно, что если канонический параметр, то и и В — постоянные числа) также является каноническим параметром.

Итак, если геодезическая существует, то на ней можно выбрать в качестве параметра канонический параметр.

Справедливо следующее утверждение:

из каждой точки псевдориманова пространства по заданному в этой точке направлению исходит единственная геодезическая линия.

Пусть параметрические уравнения геодезической и каноническии параметр. Тогда вектор - вдоль искомой геодезической неизвестные функции) переносится параллельно и, значит,

Запишем последние соотношения в эквивалентной форме, поделив обе части на

Соотношения (45) представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, заданных в некоторой области изменения переменных координат в пространстве В этой области задан метрический тензор следовательно, известные функции.

Соотношения (45) называются дифференциальными уравнениями геодезических.

По условию заданы точка и направление b в этой точке. Пусть координаты точки а координаты вектора

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что система (45) при начальных данных (46) имеет единственное решение

Итак, в псевдоримановом пространстве определяется единственная геодезическая, исходящая из точки в заданном направлении

На этом мы завершаем изложение некоторых фактов теории псевдоримановых пространств. Они во многом похожи на римановы пространства. Но есть и существенные различия. Кое-где мы подчеркивали их. Главное отличие связано с измерением длин — в псевдоримановых пространствах имеются реальные кривые нулевой длины.