§ 8. СИМВОЛЫ КРИСТОФФЕЛЯ
1°. Определение
Пусть в области X пространства 
введена координатная система 
Произвольная точка 
области X определяется своим радиус-вектором
В точке 
естественно возникает репер
Вычислим в точке 
вторую производнук? ее радиус-вектора
Ясно, что полученный вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов
Легко видеть, что коэффициенты 
в этом разложении симметричны:
В силу произвольности выбора точки 
можно заключить, что соотношение (1) справедливо в любой точке области 
Пусть 
другая координатная система в области 
соответствующий координатный репер. Рассуждая как и выше, получаем, что
Найдем правило, по которому при переходе от координатной системы 
к координатной системе 
по коэффициентам Т; можно вычислить коэффициенты 
Продифференцируем векторную функцию
по 
считая ее сложной функцией переменных 
Имеем
и, далее,
Преобразуем полученное выражение. Заменим в первой группе слагаемых каждый вектор 
его выражением (1). Тогда, изменяя индекс суммирования во второй группе получим
Так как
то окончательно имеем
Сравнивая последнее равенство с формулой (2), в силу единственности разложения вектора по базису получаем
Формула (4) представляет собой закон преобразования коэффициентов 
В общем случае этот закон не является тензорным, так как вторая производная 
необязательно равна нулю.
