2°. Гладкие функции

Пусть на гладком многообразии задана функция

т. е. каждой точке многообразия по определенному правилу ставится в соответствие число

Пусть заданная точка.

Возьмем локальную карту так, чтобы Тогда с заданной функцией можно связать обычную функцию от перемейных областью определения которой является открытая карта координатного пространства

Эта функция строится по следующему правилу:

где

Рис. 20. График функции заданной на сфере, в локальных координатах

Ясно, что построенная функция зависит от выбора локальной карты

Пусть — другая локальная карта.

Поступая по описанному выше правилу, получим функцию

где

Если потребовать, чтобы функция имела в открытой области пространства непрерывные частные производные всех порядков, т. е. чтобы то и функция в области пространства будет принадлежать классу

Покажем это.

Из соотношения

справедливого в открытой области и того факта» что и функция и координатное преобразование принадлежат классу вытекает, что функция как композиция функции и координатного преобразования также имеет в области непрерывные частные производные всех порядков.

Определение. Функция заданная на гладком многообразии называется гладкой, если для любой точки из можно указать локальную карту такую, что и функция имеет в открытом множестве пространства непрерывные частные производные всех порядков.

Множество всех гладких функций на многообразии будем обозначать так:

Множество обладает следующим легко проверяемым свойством: если функции из то также принадлежат

Если функция задана не на всем многообразии, а лишь на некотором его открытом подмножестве то совершенно аналогично можно ввести понятие гладкой функции на и множество

Наконец, будем обозначать через где фиксированная точка многообразия совокупность функций, обладающих следующим свойством: если существует открытая окрестность точки в которой функция является гладкой.

Отметим, что для разных функций из такие окрестности, вообще говоря, различны.

Пример. Пусть произвольная точка гладкого многообразия содержащая ее карта. Тогда каждой точке из ставится в соответствие чисел Тем самым на множестве задаются функций.

Возьмем одну из них, например

и покажем, что

В соответствии с определением имеем

Нетрудно заметить, что эта функция имеет непрерывные частные производные всех порядков:

а все производные порядка выше первого равны нулю.