6°. Символы Кристоффеля и операция ковариантного дифференцирования

По заданной метрике определим символы Кристоффеля 1-го рода:

и символы Кристоффеля 2-го рода:

Нетрудно убедиться в том, что введенные символы Кристоффеля не являются тензорами. Например, при переходе к новым координатам символы Кристоффеля 2-го рода изменяются по правилу

Рассуждая так же, как и в пункте 2° § 8, можно показать, что:

А) у каждой точки существуют окрестность и координаты в ней, такие, что

Б) у каждой точки существуют окрестность и координаты в ней, такие, что величины

в точке равны нулю:

Пользуясь символами Кристоффеля введем важную операцию ковариантного дифференцирования у: если тензор типа то тензор типа компоненты которого вычисляются по формулам

называется ковариантной производной тензора

Операция ковариантного дифференцирования обладает следующими свойствами: