определяются как решение системы уравнений геодезических
при начальных условиях
(напомним, что длина вектора равна 1).
Каждой точке 
на геодезической, отвечающей начальным данным (17), ставится в соответствие 
чисел
где 
длина дуги 
этой геодезической.
Определение. Числа 
определяемые формулами (18), называются римановыми координатами точки 
точке 
отвечают нулевые римановы координаты: 
Отметим, что римановы координаты 
это координаты вектора 
в касательном пространстве 
в точке 
пространства 
При этом указанный вектор имеет длину, равную 
а его направление в пространстве 
определяется единичным вектором с координатами 
, которому он и коллинеарен.
Докажем, что в римановом пространстве 
вблизи точки 
введенные нами величины 
действительно можно рассматривать как координаты точек.
Для этого нужно показать, что каждому упорядоченному набору достаточно малых чисел 
отвечает только одна точка 
из некоторой окрестности точки 
пространства 
Итак, пусть набор чисел 
задан. Рассмотрим в касательном пространстве 
в точке 
точку 
с координатами (см. 1° и 2° § 2) и вычислим по обычным формулам евклидовой геометрии длину 
вектора 
Затем, пользуясь формулами (18), найдем координаты 
единичного вектора, коллинеарного вектору 
По этим данным строим начальные условия (17) и из уравнений (16) определяем геодезическую, проходящую через точку 
и точку 
на ней так, что длина дуги 
равна 
Точка 
имеет координаты 
Таким образом, из наших рассуждений вытекает, что
Из известных теорем теории дифференциальных уравнений следует, что функции (19) как решения системы (16) будут непрерывны вместе с первыми производными.
Остается убедиться в том, что из соотношений (19) можно найти 
как функции от 
т. е. разрешить уравнения (19)
относительно 
Для этого достаточно доказать, что в некоторой окрестности точки 
Вычислим 
. С учетом формул (18), (19) имеем
Согласно условиям (17) в точке 
Отсюда и из соотношений (21) получаем, что в точке 
выполняются равенства
Так как последнее соотношение справедливо для любого вектора то
Поэтому
Отсюда и из непрерывности функций 
вытекает, что неравенство (20) выполняется в некоторой окрестности точки 
Итак, мы доказали, что в некоторой окрестности произвольной точки риманова пространства 
можно ввести римановы координаты.
Свойства римановых координат.
1+. Пусть точка 
начало системы римановых координат 
Тогда уравнения геодезической, исходящей из точки 
и имеющей направляющий вектор 
имеют вид
Равенства (22) достаточны для того, чтобы 
были римановыми координатами с началом в точке 
В самом деле, из условий (22) вытекает, что 
- начальный касательный вектор (в точке 
и поэтому римановы координаты, построенные по способу, описанному выше, совпадут с 
2+ Функции 
удовлетворяют дифференциальным уравнениям геодезических
Отсюда и из равенств
получаем, что
Умножая эти соотношения на 
и используя формулы (22), убеждаемся в том, что
Равенства (23) выполняются в каждой точке и представляют собой достаточные условия того, чтобы 
были римановыми координатами.
Замечание. Если в точке 
метрический тензор
то римановы координаты называются нормальными координатами.
3+. Вид линейного элемента в римановых координатах. Ограничимся случаем, когда римановы координаты являются локально нормальными (см. пункт 3° § 2). Обозначим их через 
Тогда, как доказано выше, разложение компонент метрического тензора 
по формуле Тейлора с центром в точке 
будет иметь следующий вид:
(здесь 
компоненты тензора Римана-Кристоффеля в точке 
третье слагаемое 
-компоненты тензора типа порядок малости которых относительно 
выше второго).
Таким образом, линейный элемент в римановых координатах нормальных в данной точке 
можно записать так:
Полученная формула удобна в различных приложениях.
некоторую точку 
Выбрав ее за начальную, проведем по всем направлениям из этой точки геодезические. В качестве параметра на каждой исходящей из точки геодезической выберем 
которую будем отсчитывать от точки 
